介绍 ：
图 G 由顶点和边组成。边是连接图中任意两个节点的线或弧，节点也称为顶点。
一个简单的图 G = (V, E) 包括：
- V : 顶点的有限集
- E : 边集
例子 –
在下图中，图 G 包括：
V = { A, B, C, D}
E = { {A, C}, {C, B}, {A, D}}
添加 2 个图形：
如果我们有 2 个图 G 1 & G 2使得它们的顶点交集为空 ( V(G 1 )∩ V(G 2 ) = ∅ ) ，那么总和：
G 1 + G 2被定义为顶点集 V(G 1 +G 2 ) 为 V(G 1 ) + V(G 2 ) 的图，边集由这些边组成，它们是 inG 1 & in G 2 & 通过将 G 1的每个顶点连接到 G 2 的每个顶点所包含的边。
示例：显示 G 1 & G 2的 2 个图形的相加是：
这里： V(G 1 )∩ V(G 2 ) = ∅
G 1中已经包含的边是， E(G 1 ) : {{A, B}} 和顶点是： V(G 1 ) = {A, B}
G 2中已经包含的边是， E(G 2 ) : {{A’, B’} ,{B’,C’} } 并且顶点是： V(G 2 ) = {A’, B’, C’}
所以图形，G 1 + G 2将有
(i) 顶点为： V(G 1 +G 2 ) = V(G1) + V(G 2 ) = { A, B. A’, B’, C’}
(ii) 和 E(G 1 + G 2 ) = E(G 1 ) + E(G 2 ) + 将 G 1的每个顶点连接到 G 2 的每个顶点所包含的边 =
{ {A, B}, {A’, B’} ,{B’,C’} , {A,A’} , {A, B’}, {A, C’}, {B,A’} , {B, B’}, {B, C’}}
2图的乘积：
我们将 2 个图 G1*G2 的乘积定义为 (G 1 *G 2 )(V, E) 使得：
(i) 顶点：V(G 1 *G 2 ) = V(G 1 ) & V(G 2 ) = V(G 1 ) * V(G 2 ) 的笛卡尔积和
(ii) 边：考虑图 G 1 *G 2的顶点集中的任意 2 个顶点(即 V(G 1 ) & V(G 2 ) 的笛卡尔积)，比如说 A & V(注：A & V 是一对 2 个元素的顶点)使得： A = (a1, a2) & V = (v1,v2) ，则 {A, V} 是图 G 1 *G 2 中的一条边，如果满足以下条件——
(i) a1 = v1(该对的第一个元素相同)并且a2与v2相邻
(ii) a2 = v2(该对的第二个元素相同)并且a1与v1相邻
示例：考虑 2 个图，G 1 & G 2使得：
V(G 1 ) = {A, B}
E(G 1 ) = { {A, B} }
V(G 2 ) = {A’, B’, C’}
E(G 2 ) ={ {A’, B’} ,{B’,C’} }
然后图 G 1 *G 2将有：
(i) 顶点：V(G 1 *G 2 ) = V(G 1 ) & V(G 2 ) = V(G 1 ) * V(G 2 ) = { (A, A’) , ( A, B’), (A, C’), (B, A’), (B, B’), (B, C’) }
(ii) 边：我们需要检查 G 1 * G 2中的每一对顶点是否可以形成边 / 不。正如我们所知，如果我们在 (G 1 * G 2 ) 中有 2 个顶点 A & V 使得： A = (a1, a2) & V = (v1,v2) ，那么 {A, V} 是图 G 1 *G 2如果满足以下任一条件 –
(i) a1 = v1 (pair 的第一个元素相同) AND a2 与 v2 相邻
(ii) a2 = v2 (pair 的第二个元素相同) AND a1 与 v1 相邻
图 乘积 G 1 * G 2
我们发现：
1. { (A, A’) , (A, B’) } 是一条边，因为该对的第一个元素是相同的 (A = A) 并且 A’ 与 G 2 中的 B’ 相邻
2. { (A, C’) , (A, B’) } 是一条边，因为该对的第一个元素是相同的 (A = A) 并且 C’ 与 G 2 中的 B’ 相邻
3. { (B, A’) , (B, B’) } 是一条边，因为该对的第一个元素是相同的 (B = B) 并且 A’ 与 G 2 中的 B’ 相邻
4. { (B, C’) , (B, B’) } 是一条边，因为该对的第一个元素是相同的 (A = A) 并且 C’ 与 G 2 中的 B’ 相邻
5. { (A, A’) , (B, A’) } 是一条边，因为该对的第二个元素是相同的 (A’ = A’) 并且 A 在 G 1 中与 B 相邻
6. { (A, B’) , (B, B’) } 是一条边，因为该对的第二个元素是相同的 (B’ = B’) 并且 A 在 G 1 中与 B 相邻
7. { (A, C’) , (B, C’) } 是一条边，因为该对的第二个元素是相同的 (C’ = C’) 并且 A 在 G 1 中与 B 相邻
所以 E(G 1 *G 2 ) = { { (A, A’) , (A, B’) } , { (A, C’) , (A, B’) } , { (B, A’) , (B, B’) } , { (B, C’) , (B, B’) } , { (A, A’) , (B, A’) } , { (A, B’) , ( B, B’) } , { (A, C’) , (B, C’) } }
通过这种方式，我们可以找到任意 2 个图的加法和乘积。
图的秩和空性：
设 G(V,E) 是一个有 n 个顶点、m 个边和 K 个分量的图。
IE; |G(V)| = n & |G(E)| = m 我们定义秩 P(G) & nullity μ(G) 如下：
If G Is not connected :
P(G) = Rank of G = n - k
μ(G) = Nullity of G = m - n + k
If G Is connected :
P(G) = Rank of G = n - 1
μ(G) = Nullity of G = m - n + 1示例 1 ：下图所示为连通图：
图 G
|G(V)| = n = 4 &
|G(E)| = 米 = 3
P(G) = G 的等级 = n – 1 = 4 -1 = 3
μ(G) = 无 G = m – n + 1 = 3 – 4 + 1 = 0
示例 2：下图未连接：
|G(V)| = n = 6 &
|G(E)| = 米 = 4 &
组件数 = k = 2
P(G) = G 的等级 = n – k = 6 – 2 = 4
μ(G) = 无 G = m – n + k = 4 – 6 + 2 = 0