从正则表达式设计有限自动机（第 6 集）

简介

在计算机科学中，有限自动机是一种用于在有限的输入范围内处理字符串的形式语言处理工具。正则表达式是一种通用的模式匹配语言，常用于文本搜索和替换操作。在本教程的第 6 集中，我们将学习如何从给定的正则表达式构建有限自动机。

概述

构建有限自动机的过程通常是将正则表达式转换为等效的有限自动机。这是通过从左到右分析正则表达式并将其转换为状态转换图的方式实现的。在此过程中，正则表达式中的每个字符都包含一组可能的转换，其中每个转换通常对应于一个状态。

例如，考虑下面的正则表达式：

ab*c

此正则表达式表示从字符 'a' 开始，后跟 0 个或多个 b，最后以字符 'c' 结尾的字符串。为了将此表示为有限自动机，我们首先需要识别正则表达式中的每个元素。这通常包括以下元素：

1. 字符
2. .（表示任何字符）
3. *（表示前一个元素的零个或多个副本）
4. +（表示前一个元素的一次或多次副本）
5. ?（表示前一个元素的零个或一个副本）
6. ( )（分组元素）

在本教程中，我们将学习如何使用这些元素创建状态转换图，并将它们转换为等效的有限自动机。

构建有限自动机的步骤

构建有限自动机的过程通常分为以下步骤：

1. 创建一个初始状态，并将其作为当前状态。
2. 从左到右扫描正则表达式中的每个元素。
3. 如果当前元素是字符，则添加一个新状态，并在当前状态和新状态之间添加转换。将新状态设置为当前状态。
4. 如果当前元素是 .，则添加一个新状态，并为输入字符集中的每个字符添加一个转换。将新状态设置为当前状态。
5. 如果当前元素是 *，则添加两个新状态。将一个新状态作为当前状态，并将其与另一个新状态之间添加 ε 转换。将另一个新状态设置为当前状态。
6. 如果当前元素是 +，则将前一个元素替换为其等效的 {1,∞} 正则表达式，并重复步骤 5。
7. 如果当前元素是 ?，则将前一个元素替换为其等效的 {0,1} 正则表达式，并重复步骤 5。
8. 如果当前元素是 (，则将当前状态压入栈中，并创建一个新的初始状态并将其设置为当前状态。
9. 如果当前元素是 )，则将栈顶状态弹出并设置为当前状态。
10. 重复步骤 2-9 直到结束。

示例

让我们使用上面的步骤来构建正则表达式'ab*c'的有限自动机。

创建初始状态

我们从创建初始状态开始。我们将其表示为 q0：

q0

此状态是空的，因为尚未添加任何转换。

添加 'a' 的转换

下一个元素是字符 'a'。我们需要添加一个新状态 q1，并从 q0 到 q1 添加一个从 'a' 的转换。

q0 ---'a'---> q1

此时我们将 q1 设置为当前状态。

添加 'b*' 的转换

下一个元素是 'b*'。这意味着我们需要添加两个新状态：q2 和 q3。我们还需要添加从 q1 到 q2 的 ε 转换和从 q2 到 q3 的从字符 'b' 的转换，以及从 q3 到 q2 的 ε 转换。

      ---ε---> q2 ---'b'---> q3 ---ε--->  
      |                                   
q0 ---'a'---> q1                           

此时我们将 q2 设置为当前状态。

添加 'c' 的转换

最后，我们添加从 q3 到一个新状态 q4 的从字符 'c' 的转换。

      ---ε---> q2 ---'b'---> q3 ---'c'---> q4
      |                                   
q0 ---'a'---> q1                           

我们已经完成了有限自动机的构建。

结论

在本教程中，我们学习了如何从正则表达式构建有限自动机。我们了解了构建过程，并通过一个示例来演示了如何应用这些知识。有限自动机是计算机科学中非常有用的工具，可以在多种应用程序中使用，例如编译器、文本搜索和替换，以及语言处理。