从正则表达式设计有限自动机（第 3 组）

在计算机科学中，有限自动机（Finite Automaton，简称 FA）是指一个自动机，它的状态数目是有限的。正则表达式是描述一组字符串的一种语言，它通常用于在文本中搜索或匹配特定模式的字符串。FA 可以通过正则表达式来设计，使得其可以处理字符串匹配等问题。本文将介绍如何从正则表达式设计有限自动机，以及常见的应用场景。

正则表达式

正则表达式由一系列字符和操作符组成，用于描述一组字符串。例如，正则表达式 ab+c 可以匹配所有以一个 a 开始、后跟一个或多个 b 和一个 c 的字符串，如 abbbc 或 abc。

在正则表达式中，常用的操作符包括：

• . 匹配任意单个字符。
• * 匹配前面的零个或多个元素。
• + 匹配前面的一个或多个元素。
• ? 匹配前面的零个或一个元素。
• | 在两个表达式之间进行选择。
• () 用于分组表达式。

有限自动机

有限自动机是一种状态机，它可以接受一个输入序列，根据预先定义的转换表将其转换成一系列状态。转换表定义了从一个状态到另一个状态的转换条件，包括输入字符和当前状态。状态机一开始处于初始状态，如果输入序列经过转换符合转换表的条件，则状态机会进入下一个状态。如果输入序列到达终止状态，则认为输入序列被接受。

有限自动机通常包括四个要素：

• 状态集合
• 转换函数
• 初始状态
• 接受状态集合

在有限自动机中，每个状态代表了一种行为或状态。转换函数描述了从一个状态转换到另一个状态的方法。初始状态是状态机开始时所处的状态，接受状态集合是可以结束状态机并接受输入的状态集合。

从正则表达式设计有限自动机

为了从正则表达式设计有限自动机，我们可以将正则表达式转换为等价的 NFA（nondeterministic finite automaton，非确定性有限自动机），然后将 NFA 转换为 DFA（deterministic finite automaton，确定性有限自动机）。

将正则表达式转换为 NFA

正则表达式可以通过 Thompson 构造算法转换为等价的 NFA。该算法基于以下原理：如果两个 NFA 可以接受他们的所有字符串，则这两个 NFA 的结合也可以接受他们的所有字符串。因此，可以通过将两个 NFA 连接起来来形成一个更大的 NFA，并通过将一个 NFA 复制来形成另一个 NFA，并使用两个 NFA 接受字符串的并集来实现选择操作。

将正则表达式转换为 NFA 的步骤如下：

1. 将正则表达式解析成表达式树；
2. 使用 Thompson 构造算法将表达式树转换为等价的 NFA。

例如，将正则表达式 ab*c 转换为 NFA 的过程如下：

将 NFA 转换为 DFA

NFAs 在转换的过程中通常会产生很多无法消除的ε转换。而 DFA 可以更好地处理这些情况。因此，可以使用子集构造算法将 NFA 转换为 DFA。子集构造算法可以将每个状态集合与一个具体的输入符号相对应，并确定 DFA 中每个状态的转移函数。

将 NFA 转换为 DFA 的步骤如下：

1. 构建 DFA 表格；
2. 创建 DFA 的初态，它是由 NFA 的初态集合组成的；
3. 确定 DFA 的所有状态，这些状态是 NFA 状态的子集；
4. 确定 DFA 中每个状态的转移函数；
5. 确定 DFA 中的接受状态。

例如，将上面的 NFA 转换为 DFA 的过程如下：

DFA 最小化

对于 DFA 的状态转移，它们之间的等价类被定义为两个状态产生相同输入序列的状态。可以使用 Hopcroft 算法将 DFA 最小化。Hopcroft 算法首先将 DFA 按它们的接受状态分成两个等价类，然后按这些类别使得它们最小化。

应用场景

有限自动机的应用非常广泛，如：

• 编译器：词法分析器将源代码文件作为输入，并使用有限自动机来匹配在语言中定义的单个令牌；
• 模式匹配：搜索大型文本文件以查找特定模式；
• 字符串处理：用于提取文本串中的信息。

参考资料

• 正则表达式与有限状态机
• Automata Theory – Regular Expression to NFA and DFA – Conversion
• Hopcroft's DFA Minimization