DFA 中的跨产品操作

先决条件：设计有限自动机
让我们借助以下示例来了解确定性有限自动机 (DFA) 中的叉积运算-

为 {a, b} 上的一组字符串设计 DFA，使得语言的字符串包含偶数个 a 和 b，然后所需的语言将如下所示 –

L = {ε, aa, bb, abab, aabb, baba, bbaa, .......}

让我们看看 DFA 中跨产品操作的步骤：

第1步：
让我们形成一个 DFA，它计算偶数个 a-
在下面的状态转换图中，’W’ 也是初始状态和最终状态，它接受包含偶数个 a 和任意数量 b 的字符串语言。

上述 DFA 接受的语言是-

L = {ε, aab, b, baa, aabbbbb, aaaab, ..........}

上述 DFA 不接受的语言是-

L = {aaa, abbb, baaa, bbaaba, ...........}

第2步：
让我们形成一个 DFA，它计算 b 的偶数 –
在下面的状态转换图中，’Y’ 也是初始状态和最终状态，它接受包含偶数个 b 和任意数量 a 的字符串语言。

上述 DFA 接受的语言是-

L = {ε, bba, a, abb, bbbbaaaa, bbbba, ...........}

上述 DFA 不接受的语言是-

L = {bbb, bbba, abbb, aaba, ...........}

第 3 步：
在这里，第 1 步和第 2 步的状态交叉相乘并产生如下结果-

{W, X} * {Y, Z} = {WY, WZ, XY, XZ} 

在下面的状态转换图中，使用的四个状态 {WY, WZ, XY, XZ} 是第 1 步和第 2 步状态的叉积的结果，其中“WY”也是初始和最终状态，因为在第 1 步’W’ 是初始和最终状态，在步骤 2 中，’Y’ 是初始和最终状态，其余是正常状态。
然后交叉产品操作后的结果状态转换图如下所示 –

因此，上述 DFA 接受 a 和 b字符串的偶数的所有语言，并且上面 DFA 接受和不接受的语言如下-

L1 = {ε, aa, bb, abab, aabb, baba, bbaa, .......}
L2 = {aaa, aaabb, aaabaabb, aaabb, baaba, bbbaa, .......}

L1 被上述 DFA 接受，但 L2 不接受。