最小化 DFA
DFA 最小化表示将给定的 DFA 转换为具有最少状态数的等效 DFA。
最小化 DFA
假设有一个识别语言 L 的 DFA D < Q, Σ, q0, δ, F >。那么可以为语言 L 构造最小化的 DFA D < Q', Σ, q0, δ', F' > 为：
第 1 步：我们将 Q（状态集）分为两组。一组将包含所有最终状态，另一组将包含非最终状态。该分区称为 P 0 。
第 2 步：初始化 k = 1
第 3 步：通过划分 P k-1的不同集合来找到 P k 。在每组 P k-1中，我们将采用所有可能的状态对。如果一个集合的两个状态是可区分的，我们会将这些集合拆分为 P k中的不同集合。
第 4 步：当 P k = P k-1时停止（分区没有变化）
步骤 5：将一组的所有状态合并为一个。最小化 DFA 中的状态数将等于 no。 P k中的集合。
如何判断分区 P k中的两个状态是否可区分？
如果对于任何输入符号 a、δ (qi, a ) 和 δ (qj, a ) 在分区 P k-1中的不同集合中，则两个状态 (qi, qj ) 在分区 P k中是可区分的。
例子
考虑如下图所示的 DFA。
步骤 1. P0 将有两组状态。一组将包含 q1、q2、q4，它们是 DFA 的最终状态，另一组将包含剩余状态。所以 P0 = { { q1, q2, q4 }, { q0, q3, q5 } }。
步骤 2.要计算 P1，我们将检查分区 P0 的集合是否可以分区：
i) 对于集合 { q1, q2, q4 } ：
δ ( q1, 0 ) = δ ( q2, 0 ) = q2 和 δ ( q1, 1 ) = δ ( q2, 1 ) = q5，所以 q1 和 q2 是不可区分的。
类似地，δ ( q1, 0 ) = δ ( q4, 0 ) = q2 和 δ ( q1, 1 ) = δ ( q4, 1 ) = q5，所以 q1 和 q4 不可区分。
因为，q1 和 q2 不可区分，q1 和 q4 也不可区分，所以 q2 和 q4 不可区分。因此，{ q1, q2, q4 } 集合不会在 P1 中进行分区。
ii) 对于集合 { q0, q3, q5 } ：
δ ( q0, 0 ) = q3 和 δ ( q3, 0 ) = q0
δ ( q0, 1) = q1 和 δ( q3, 1 ) = q4
q0 和 q3 在输入符号 0 上的移动分别是 q3 和 q0，它们在分区 P0 中的同一集合中。类似地，输入符号 1 上 q0 和 q3 的移动是 q1 和 q4，它们在分区 P0 中的同一集合中。因此，q0 和 q3 是不可区分的。
δ ( q0, 0 ) = q3 和 δ ( q5, 0 ) = q5 和 δ ( q0, 1 ) = q1 和 δ ( q5, 1 ) = q5
q0 和 q5 在输入符号 1 上的移动分别是 q1 和 q5，它们在分区 P0 中的不同集合中。因此，q0 和 q5 是可区分的。因此，集合 { q0, q3, q5 } 将被划分为 { q0, q3 } 和 { q5 }。所以，
P1 = { { q1, q2, q4 }, { q0, q3}, { q5 } }
要计算 P2，我们将检查分区 P1 的集合是否可以分区：
iii) 对于集合 { q1, q2, q4 } ：
δ ( q1, 0 ) = δ ( q2, 0 ) = q2 和 δ ( q1, 1 ) = δ ( q2, 1 ) = q5，所以 q1 和 q2 是不可区分的。
类似地，δ ( q1, 0 ) = δ ( q4, 0 ) = q2 和 δ ( q1, 1 ) = δ ( q4, 1 ) = q5，所以 q1 和 q4 不可区分。
因为，q1 和 q2 不可区分，q1 和 q4 也不可区分，所以 q2 和 q4 不可区分。因此，{ q1, q2, q4 } 集合不会在 P2 中进行分区。
iv) 对于集合 { q0, q3 } ：
δ ( q0, 0 ) = q3 和 δ ( q3, 0 ) = q0
δ ( q0, 1 ) = q1 和 δ ( q3, 1 ) = q4
q0 和 q3 在输入符号 0 上的移动分别是 q3 和 q0，它们在分区 P1 中的同一集合中。类似地，输入符号 1 上的 q0 和 q3 的移动是 q1 和 q4，它们在分区 P1 中的同一集合中。因此，q0 和 q3 是不可区分的。
v) 对于集合 { q5 }：
由于我们在这个集合中只有一个状态，所以不能进一步划分。所以，
P2 = { { q1, q2, q4 }, { q0, q3 }, { q5 } }
因为，P1=P2。所以，这是最后的分区。分区 P2 意味着 q1、q2 和 q4 状态合并为一个。类似地，q0 和 q3 合二为一。图 1 的 DFA 对应的最小化 DFA 如图 2 所示：
问题：考虑给定的 DFA。以下哪项是错误的？
1. L(A) 的补码是上下文无关的。
2. L(A) = L ( ( 11 * 0 + 0 ) ( 0 + 1 )* 0* 1* )
3. 对于 A 接受的语言，A 是最小的 DFA。
4. A 接受长度至少为 2 的 { 0, 1 } 上的所有字符串。
A. 仅 1 和 3
B. 仅 2 和 4
C. 仅 2 和 3
D. 仅 3 和 4
解决方案：语句 4 说，它将接受长度至少为 2 的所有字符串。但它接受长度为 1 的 0。因此，4 为假。
陈述 3 说 DFA 是最小的。我们将使用上面讨论的算法进行检查。
P0 = { { q2 }, { q0, q1 } }
P1 = { q2 }，{ q0，q1 } }。因为，P0 = P1，所以 P1 是最终的 DFA。 q0 和 q1 可以合并。所以最小 DFA 将有两种状态。因此，陈述 3 也是错误的。
所以正确的选项是（D）。
本文由 Sonal Tuteja 提供。