正则表达式到 DFA
先决条件 – 有限自动机介绍
实用性——要从给定的正则表达式构造 DFA，我们可以首先为给定的表达式构造一个 NFA，然后通过子集构造方法将此 NFA 转换为 DFA。但是为了避免这个两步过程，另一种方法是直接为给定的表达式构造一个 DFA。
DFA 指的是确定性有限自动机。在 DFA 中，对于每个状态和每个输入符号，自动机可以从其当前状态转换到一个状态，并且只有一个状态。 DFA 不接受任何 ∈ 转移。
为了直接从正则表达式构造 DFA，我们需要遵循以下步骤：
示例：假设给定正则表达式 r = (a|b)*abb
1.首先，我们为给定的表达式构造增强的正则表达式。通过将唯一的右端标记“#”连接到正则表达式 r，我们在“#”上给出了 ra 转换的接受状态，使其成为 r# 的 NFA 的重要状态。
So, r' = (a|b)*abb#2.然后我们为 r# 构建语法树。
(a|b)*abb# 的语法树
3.接下来，我们需要评估四个可以为空的函数，firstpos、lastpos 和 followpos。
- 当且仅当由 n 表示的正则表达式在其语言中包含 € 时，nullable(n) 对语法树节点 n 为真。
- firstpos(n) 给出可以匹配由以 n 为根的子表达式生成的字符串的第一个符号的位置集。
- lastpos(n) 给出可以匹配由以 n 为根的子表达式生成的字符串的最后一个符号的位置集。
如果内部节点被连接标记，我们将其称为猫节点、或节点或星节点，|或 *运算符，分别。
计算 nullable、firstpos和 lastpos的规则：
| Node n | nullable(n) | firstpos(n) | lastpos(n) |
|---|---|---|---|
| n is a leaf node labeled € | true | ∅ | ∅ |
| n is a leaf node labelled with position i | false | { i } | { i } |
| n is an or node with left child c1 and right child c2 | nullable(c1) or nullable(c2) | firstpos(c1) ∪ firstpos(c2) | lastpos(c1) ∪ lastpos(c2) |
| n is a cat node with left child c1 and right child c2 | nullable(c1) and nullable(c2) | If nullable(c1) then firstpos(c1) ∪ firstpos(c2) else firstpos(c1) | If nullable(c2) then lastpos(c2) ∪ lastpos(c1) else lastpos(c2) |
| n is a star node with child node c1 | true | firstpos(c1) | lastpos(c1) |
计算规则如下：
1.如果 n 是一个具有左孩子 c1 和右孩子 c2 的猫节点，并且 i 是 lastpos(c1) 中的一个位置，那么 firstpos(c2) 中的所有位置都在 followpos(i) 中。
2.如果 n 是星节点并且 i 是 lastpos(n) 中的位置，则 firstpos(n) 中的所有位置都在 followpos(i) 中。
3.现在我们已经了解了计算 firstpos 和 lastpos 的规则，我们现在继续计算给定正则表达式 (a|b)*abb# 的语法树的相同值。
语法树中节点的 firstpos 和 lastpos for (a|b)*abb#
现在让我们为语法树中的每个节点计算 followpos 自下而上。NODE followpos 1 {1, 2, 3} 2 {1, 2, 3} 3 {4} 4 {5} 5 {6} 6 ∅
4.现在我们构造Dstates ，DFA D 和Dtran的状态集，D 的转换表。DFA D 的起始状态是 firstpos(root) ，接受状态是所有包含与 endmarker 符号关联的位置的状态# .
根据我们的示例，根的第一个位置是 {1, 2, 3}。设此状态为 A 并考虑输入符号 a。位置 1 和 3 用于 a，因此令 B = followpos(1) ∪ followpos(3) = {1, 2, 3, 4}。由于这个集合还没有见过，我们设置 Dtran[A, a] := B。
当我们考虑输入 b 时，我们发现在 A 中的位置中，只有 2 个与 b 相关联，因此我们考虑 set followpos(2) = {1, 2, 3}。由于这个集合之前已经见过，我们没有将它添加到 Dstates 中，而是添加了转换 Dtran[A, b]:= A。
对其他状态继续这样，我们到达下面的转换表。 Input State a b ⇢ A B A B B C C B D D B A
这里，A 是开始状态，D 是接受状态。
5.最后我们为上面的转移表画出DFA。
最终的 DFA 将是：
(a|b)*abb 的 DFA