使用Myphill-Nerode定理的DFA最小化

算法

输入-DFA

输出-最小化DFA

步骤1-为未必直接连接的所有成对状态(Q _i ，Q _j )绘制一张表[最初都未标记]

第2步-考虑到每一种状态对(Q _{I，Q j)的}在DFA，其中Q_我∈˚F和_QĴ∉F或反之亦然，并标记它们。 [这里F是最终状态的集合]

步骤3-重复此步骤，直到我们无法标记状态为止-

如果有一个未标记的对(Q _i ，Q _j )，请标记对{δ(Q _i ，A)，δ(Q _i ，A)}对以标识某些输入字母。

步骤4-合并所有未标记对(Q _i ，Q _j )，并使它们在简化的DFA中成为单个状态。

例

让我们使用算法2最小化如下所示的DFA。

步骤1-我们为所有状态对绘制一张表。

步骤2-我们标记状态对。

步骤3-我们将尝试通过绿色复选标记标记状态对。如果我们输入1到状态’a’和’f’，它将分别进入状态’c’和’f’。 (c，f)已被标记，因此我们将标记对(a，f)。现在，我们输入1来表示状态’b’和’f’；它将分别进入状态“ d”和“ f”。 (d，f)已被标记，因此我们将标记对(b，f)。

在第3步之后，我们获得了未标记的状态组合{a，b} {c，d} {c，e} {d，e}。

我们可以将{c，d} {c，e} {d，e}重组为{c，d，e}

因此，我们得到了两个组合状态，分别为− {a，b}和{c，d，e}

因此，最终的最小化DFA将包含三个状态{f}，{a，b}和{c，d，e}

使用等价定理的DFA最小化

如果X和Y是DFA中的两个状态，我们可以将这两个状态区分开来{{X，Y}}。如果存在至少一个字符串S，则两个状态是可区分的，从而δ(X，S)和δ(Y，S)中的一个正在接受而另一个在不接受。因此，当且仅当所有状态都是可区分的时，DFA才最小。

算法3

步骤1-将所有状态Q划分为两个分区-最终状态和非最终状态，并用P ₀表示。在分区中的所有状态均为0^个等价的。取一个计数器k并将其初始化为0。

步骤2-将k递增1。对于P _k中的每个分区，如果可以区分_k ，则将P _k中的状态分为两个分区。如果存在输入S使得δ(X，S)和δ(Y，S)是(k-1)可区分的，则此分区X和Y中的两个状态是k可区分的。

步骤3-如果P _k ≠P _k-1 ，则重复步骤2，否则转到步骤4。

步骤4-组合^第k^个等价集，并使它们成为简化DFA的新状态。

例

让我们考虑以下DFA-

让我们将上述算法应用于上述DFA-

• P ₀ = {(c，d，e)，(a，b，f)}
• P ₁ = {(c，d，e)，(a，b)，(f)}
• P ₂ = {(c，d，e)，(a，b)，(f)}

因此，P ₁ ＝ P ₂ 。

简化后的DFA中包含三个状态。减少的DFA如下-