问题1：如果立方体的对角线是√18 cm，那么它的体积是
解：设立方体的边为x cm。
我们知道立方体的对角线 = a√3 cm
把两者都相等
a√3 = √18
两边平摊
2 (3) = 18
2 = 6
a = √6
立方体的体积 = a 3
= (√6) 3
= 6√6 厘米3
问题2：一个长方体的三个连续面的面积是27 cm 2 ，那么这个长方体的体积是
解：设长方体的三边分别为l、b、h。
=>lb = bh = hl = 27
=> l 2 b 2 h 2 = 27 x 27 x 27
=>lbh = 27√27
=>lbh = 81√3
因此，长方体的体积是 81√3 cm 3 。
问题 3： 4 厘米的雨落在一平方公里的土地上。假设 60% 的雨滴可以被收集并包含在一个底部为 200m x 20m 的水池中，水池中的水位会增加多少？
解决方案：正方形土地的面积 = 1000 x 1000
方形土地的降雨量 = 1000 x 1000 x (4/100)
只有 60% 的水被收集并装在一个盒子里。
(1000 x 1000 x 4/100)x(60/100)
让 a 是增加的水位。
200 x 20 xa = (1000 x 1000 x 4/100)x(60/100)
4000a = 40000 x 6/10
4000a = 24000
一 = 6 米
因此，容器中的水位增加了6 m。
问题 4：如果一个长方体的两个相邻边分别为 4cm 和 6cm，且平行六面体的总表面积为 88cm 2 ，则平行六面体的对角线为
解决方案：让长度= 4cm
宽度 = 6cm
高度 = h 厘米
总表面积
2(lb + bh + hl) = 88
24 + 6h + 4h = 44
10 小时 = 20
高 = 2 厘米
对角线 = √(4 2 + 6 2 + 2 2 )
= 2√14 厘米
问题 5：一个长 70√3 cm 的最大可能的棒可以放在立方房间内。适合立方房间的最大可能球体的表面积是 (π = 22/7)
解：立方体的对角线 = side√3
边√3 = 70√3
边 = 70 厘米
对于最大的球体，球体的直径 = 立方体的边
2 x 半径 = 70
半径 = 35
球体的表面积 = 4 π r 2
=> 4 x 22/7 x 35 x 35
=> 15400 厘米3
问题 6：将一个金属半球熔化并重铸成圆锥形，其底面半径为 3 cm 与半球相同。如果 H 是圆锥的高度是：
解决方案：当我们改变形状时，体积保持不变。
半球的体积 = 2/3 π r 3
锥体的体积 = 1/3 π r 2 h
所以，2/3 π r 3 = 1/3 π r 2 h
2 r = h
高 = 6 厘米
因此，圆锥的高度为6cm 。
问题 7：如果球体的半径增加 4 cm，则其表面积增加 704 cm 2 。变化前球体的半径为：
解：设变化前球体的半径为一厘米。
累积质疑
4π(a+4) 2 – 4πa 2 = 704
4π{(a+4) 2 – a 2 } = 704
4π{(a 2 + 8a + 16 – a 2 } = 704
4π{8a + 16} = 704
π(a + 2) = 22
22/7(a + 2) = 22
一个 + 2 = 7
a = 5 厘米
因此，变化前的球体半径为5 cm 。
问题8：锥形罐的高度为12cm，底部的直径为32cm。如果从外面以每平方米 21 卢比的价格进行喷漆费用。是
解决方案 ： 
我们必须找到锥体的倾斜高度（l）。
圆锥半径 = 32/2 = 16 cm
l = √(r 2 + h 2 )
l = √(16 2 + 12 2 )
l = √400 = 20 厘米
喷漆成本 = 锥体表面积 x 21
= πrl x 21
= 22/7 x 16 x 20 x 21
= 21120
因此，喷漆成本为 21120 卢比。
问题 9：一个半径为 21 厘米的圆柱形水箱里装满了水。如果抽出 13.86 升水，水箱中的水位将下降：
解决方案：初始高度 = H
最终高度 = h
圆柱体积 = π(r) 2 h
累积质疑
π(21) 2 x H – π(21) 2 xh = 13860 cm 3
π(21) 2 x (H – h) = 13860
22/7 x 21 x 21 x (H – h) = 13860
H – h = (13860 x 7) / (21 x 21 x 22)
高 – 高 = 10 厘米
因此，水位下降了10 厘米。
问题 10：两个球体的半径之和为 20 cm，它们的体积之和为 1760 cm 3 。它们的半径的乘积是什么？
解：设半径为 R 和 r。
R + r = 20
(R + r) 2 = 400
R 2 + r 2 + 2Rr = 400
R 2 + r 2 = 400 – 2Rr
卷总和
4/3 π R 3 + 4/3 π r 3 = 1760
4/3 π (R 3 + r 3 ) = 1760
(R + r)(R 2 + r 2 – Rr) = 1760 x 7/22 x 3/4
20(400 – 2Rr – Rr) = 420
400 – 3Rr = 21
3Rr = 379
Rr = 379/3
因此，半径的乘积是 379/3 。
问题 11：金属半球的总表面积为 462 cm 2 。半球熔化后形成实心的直圆锥。如果圆锥底的半径与半球的半径相同，则其高为
解决方案 ：
半球的总表面积 = 3 πr 2
3 πr 2 = 462
r 2 = 49
r = 7 厘米
累积质疑
2/3 πr 3 = 1/3 π r 2 h
2r = h
h = 2 x 7 = 14
因此，圆锥的高度为14 cm 。
问题 12：将直径为 1.4 厘米的弹珠球放入装有一些水的圆柱形烧杯中并完全浸没。烧杯直径为14cm。如果水上升 4.9 厘米，求出有多少颗弹珠掉入其中？
解决方案：烧杯直径 = 14 cm
烧杯半径 = 7 cm
水位上升 4.9 厘米
大理石的直径 = 1.4 厘米
大理石半径= 0.7 cm
让 n 个弹珠掉落。
因此，掉落的 n 个弹珠的体积 = nx 4/3 π (0.7) 3
=> nx 4/3 π (0.7) 3 = π (7) 2 x4.9
=> nx 4/3 x 7/10 x 7/10 x 7/10 = 7 x 7 x 7 x 7/10
=> n = 2100/4
=> n = 525
因此，有525 颗弹珠掉入水中。
问题 13：水以 10km/h 的速度通过直径 28cm 的管道流入一个长 100m、宽 44m 的矩形水箱。水箱内水位上升 14 cm 所用时间为
解决方法：让填充所花费的时间是一个小时。
一小时内通过管道输送的水量等于矩形水箱中的水量。
π r 2 hxa = 100 x 44 x 14/100
22/7 x 14/100 x 14/100 x 5000 xa = 100 x 44 x 14/100
a = (100 x 44 x 14 x 7 x 100 x 100) / (22 x 14 x 14 x 5000 x 100)
a = 2 小时
因此，所用时间为2 小时。
问题 14：通过熔化半径为 6 cm 的固体铅球，制成三个半径比例为 3:4:5 的小球。最大球体的半径为
解：设小球体的半径为 3a、4a 和 5a。
球体的体积 =4/3 π r 3
累加质疑
4/3 π 6 3 = 4/3π{(3a) 2 + (4a) 2 + (5a) 2 }
216 = 27a 3 + 64a 3 + 125a 3
216 = 216a 3
一 = 1
因此，最大球体的半径为 5×1 = 5 cm。
问题15：球体和圆柱体的体积相等，半径相等。圆柱的曲面面积与球体的曲面面积之比为
解：设球体的半径为r。
设圆柱的高度为h。
给定的球体体积 = 圆柱体的体积
4/3 π r 3 = π r 2 h
=> 4/3 r = h
曲面面积
Cylinder Sphere
2πrh : 4πr2
2πr4r/3 : 4πr2
8/3 : 4
2 : 3