问题 28：门|门 IT 2007

简介

门|门 IT 2007 是一道经典的编程题目，被广泛应用于招聘面试、编程比赛中。这道题目主要考察了程序员对于算法和数据结构的理解和应用能力。

题目描述

在一个二维矩阵中，每个元素的值是一个非负整数。从左上角出发，可以向右或者向下走，直到到达右下角的位置。求一条路径，该路径必须满足以下两个条件：

1. 路径上经过的所有元素的和最小。
2. 经过的所有元素中，有些元素必须被经过，即给定的必经之路。

例子

假设有以下二维矩阵和必经之路：

矩阵：
1 3 5 9
2 1 3 4
5 2 6 7
6 8 4 3

必经之路：
(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)

则，一条符合要求的最小路径为：1 -> 2 -> 2 -> 3 -> 3 -> 4 -> 3，路径上所有元素的和为 18。

解决方法

解决这个问题，需要使用动态规划。具体思路是：

1. 定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示从 (0, 0) 到 (i, j) 的最小路径和。
2. 从左上角开始遍历二维矩阵，对于每个位置 (i, j)，分以下两种情况：
   • 如果 (i, j) 在必经之路上，则 dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] + matrix[i][j]，即等于该位置的值加上它上面和左边的最小路径和。
   • 否则，dp[i][j] = MAX_INT，即该位置的值为无穷大。
3. 右下角的 dp[m-1][n-1] 即为所求的最小路径和。

代码片段

def min_path(matrix, path):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    dp = [[float('inf')]*n for _ in range(m)]
    dp[0][0] = matrix[0][0]

    for i in range(m):
        for j in range(n):
            if (i, j) in path:  # 如果是必经之路
                if i > 0 and j > 0:
                    dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + matrix[i][j]
                elif i > 0:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j] + matrix[i][j]
                elif j > 0:
                    dp[i][j] = dp[i][j-1] + matrix[i][j]
            else:  # 否则，不可达
                dp[i][j] = float('inf')

    return dp[m-1][n-1]

以上就是关于 门|门 IT 2007 的介绍和解决方法。希望能对程序员们有所帮助。