门|门 IT 2008 | 第 30 题

题目描述

在一张无向图中，找到两个点之间的路径，使得路径上的边权之和最小，输出路径的长度和路径上的边。

输入格式

输入包含三行，第一行包含两个整数 $n,m$，表示无向图的节点数和边数。节点编号从 $1$ 至 $n$，边从 $1$ 至 $m$ 编号。

第二行包含 $m$ 个整数 $u_i,v_i,w_i$，表示第 $i$ 条边连接节点 $u_i$ 和 $v_i$，边权为 $w_i$。

第三行包含两个整数 $s,t$，表示起点和终点。

输出格式

输出包含两行，第一行包含一个整数 $len$，表示路径的长度。第二行包含若干个整数，表示路径上的边。

样例输入

4 5
1 2 1
1 3 3
1 4 2
2 3 1
3 4 1
1 4

样例输出

3
1 2 4

题解

该题需要使用最短路算法求解，这里推荐使用 Dijkstra 算法。Dijkstra 算法可以在无负权边的情况下求解最短路问题。

算法步骤如下：

1. 将起点到各个点的距离初始化为无穷大，起点到起点的距离为 $0$。
2. 以起点为起点，建立优先队列。
3. 首次循环：从队列中取出距离起点最近的点，并更新其周围点的距离。
4. 循环直到队列为空，即所有点的最短路径都被计算出来了。

参考代码如下（使用 Python 语言实现）：

import heapq

n, m = list(map(int, input().split()))

edges = [[] for _ in range(n + 1)]
for i in range(m):
    u, v, w = list(map(int, input().split()))
    edges[u].append((v, w))
    edges[v].append((u, w))

s, t = list(map(int, input().split()))

dist = [float('inf')] * (n + 1)
dist[s] = 0
path = [-1] * (n + 1)

heap = [(0, s)]
while heap:
    d, u = heapq.heappop(heap)
    if d > dist[u]:
        continue
    for v, w in edges[u]:
        if dist[v] > d + w:
            dist[v] = d + w
            path[v] = u
            heapq.heappush(heap, (dist[v], v))

# 输出最短距离
print(dist[t])

# 输出最短路径
result = []
while t != -1:
    result.append(t)
    t = path[t]
result.reverse()
print(' '.join(str(x) for x in result))

以上算法的时间复杂度为 $O(m\log{m})$，空间复杂度为 $O(n+m)$。