Python – 中心极限定理

定义：

The sample mean will approximately be normally distributed for large sample sizes, regardless of the distribution from which we are sampling. 
 

假设我们从具有有限均值和有限标准偏差 (sigma) 的总体中抽样。那么样本均值的抽样分布的均值和标准差可以给出为：
$\qquad \qquad \mu_{\bar{X}}=\mu \qquad \sigma_{\bar{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
在哪里$\bar{X}$表示每个大小为 n 的样本均值的抽样分布， $\mu$和$\sigma$分别是总体的平均值和标准差。
随着样本量的增加，样本的分布趋于正态分布。
代码：中心极限定理的Python实现

python3

import numpy
import matplotlib.pyplot as plt
 
# number of sample
num = [1, 10, 50, 100] 
# list of sample means
means = [] 
 
# Generating 1, 10, 30, 100 random numbers from -40 to 40
# taking their mean and appending it to list means.
for j in num:
    # Generating seed so that we can get same result
    # every time the loop is run...
    numpy.random.seed(1)
    x = [numpy.mean(
        numpy.random.randint(
            -40, 40, j)) for _i in range(1000)]
    means.append(x)
k = 0
 
# plotting all the means in one figure
fig, ax = plt.subplots(2, 2, figsize =(8, 8))
for i in range(0, 2):
    for j in range(0, 2):
        # Histogram for each x stored in means
        ax[i, j].hist(means[k], 10, density = True)
        ax[i, j].set_title(label = num[k])
        k = k + 1
 plt.show()

输出：

从图中可以明显看出，随着我们不断将样本量从 1 增加到 100，直方图往往呈正态分布。
经验法则：
当然，“大”这个词是相对的。粗略地说，基本分布越“异常”，n 就必须越大，正态近似值才能正常工作。经验法则是样本大小 n 至少为 30 就足够了。
为什么这很重要？
这个问题的答案很简单，因为我们经常可以使用基于正态分布（例如 68-95-99.7 规则和许多其他规则）的完善的统计推断程序，即使我们从非正态的总体中抽样，前提是我们的样本量很大。