使用分支定界法的作业分配问题

作业分配问题是一个经典的NP完全问题，其目标是将若干个作业分配给若干个工人，使得总工作时间最小。

分支定界法是解决NP完全问题的一种常用方法，其基本思想是将问题空间划分成若干个子空间，然后对每个子空间进行评估，再按评估结果进行选择。对于作业分配问题，分支定界法可以通过以下步骤来求解：

1. 确定空间划分方法。假设有n个作业需要分配，m个工人可以参与，那么最简单的空间划分方法就是对每个未分配的作业逐个选择工人进行分配，从而得到n^m个子空间。

2. 确定评估函数。对于每个子空间，需要计算出其相应的作业完成时间。由于该问题属于NP完全问题，没有任何算法能够在多项式时间内给出最优解，因此可以根据贪心策略来计算最小完成时间。具体而言，可以通过将作业按工作量从大到小排序，然后依次将作业分配到空闲时间最少的工人上，最终得到所有作业的完成时间。

3. 选择子空间。计算每个子空间的完成时间，然后根据其与当前最优解的关系来选择可行解或者停止搜索。

4. 迭代搜索。不断重复2~3步，直到得到最优解或者搜索结束。

下面是使用python实现的作业分配问题求解算法，该算法使用了分支定界法来寻找最优解。

import heapq

def evaluate(candidate, jobs, workers):
    times = [0] * len(workers)
    for job in candidate:
        idx = heapq.heappop(workers)
        times[idx] += job
        heapq.heappush(workers, idx)
    return max(times)

def solve(jobs, workers):
    n = len(jobs)
    m = len(workers)
    q = []
    heapq.heappush(q, (0, []))
    best = float('inf')
    while q:
        time, candidate = heapq.heappop(q)
        if len(candidate) == n:
            best = min(best, time)
            continue        
        for i in range(m):
            next_candidate = candidate + [jobs[len(candidate)]]
            next_time = evaluate(next_candidate, jobs, workers[:])
            if next_time < best:
                heapq.heappush(q, (next_time, next_candidate))
    return best

以上代码实现了基本的分支定界方法，但是其效率并不高。实际上，可以用更高效的方法来计算每个子空间的完成时间，从而得到更快的求解速度。例如，可以使用动态规划的方法来计算每个工人的当前空闲时间，然后根据该时间分配作业，从而得到更快的计算过程。

参考资料：

• Artificial Intelligence: A Modern Approach (Third edition)
• https://en.wikipedia.org/wiki/Job_shop_scheduling