使用分支定界法的旅行商问题

什么是旅行商问题？

旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP）指的是在给定的一些城市和每对城市之间的距离情况下，求解访问每一座城市一次并回到起始城市的最短回路。旅行商问题是一个NP难问题。

分支定界法

分支定界法（Branch and Bound, B&B）是一种求解最优化问题的一般算法。它的基本思想是将问题分解为一个个子问题，用广度优先搜索生成子问题的解空间树，并用限界函数剪去不优的子树。

分支定界法求解旅行商问题

将旅行商问题转化为回溯算法求解问题。具体实现步骤如下：

1. 以某一个城市为起点和终点，然后遍历每个城市（不重复），记录已遍历过的城市。

2. 对于遍历过的每个城市，找到下一个还未遍历的城市，并以该城市为新的起点，继续遍历其余的城市。

3. 计算得到的路径长为$L_i$。如果$L_i$小于已知最小路径长$L_{min}$，则$L_i$可能为最短路径。将$L_i$保存在$L_{min}$中，并将存放顺序的数组保存在$S_{min}$中。

4. 判断所有的城市是否已经全部遍历。如果已经全部遍历，则算法结束。

5. 如果还存在未遍历的城市，则继续从第2步开始，每个遍历过的城市作为新的起点。

6. 如果$i$到$j$之间的最短路径比$L_{min}$长，则剪去$i$和$j$之间的路径。

7. 如果所有的顶点都已经遍历，则算法结束，输出$L_{min}$和$S_{min}$。

代码实现

import numpy as np

class TravelingSalesman:
	def __init__(self, distance_matrix, start_city=None):
		self.distance_matrix = distance_matrix
		self.start_city = start_city
		self.num_of_city = distance_matrix.shape[0]

	def tsp(self):
		L_min = float("inf")
		S_min = []
		visited = []
		stack = []
		dist = 0

		for i in range(self.num_of_city):
			if i != self.start_city:
				visited.append(i)
				stack.append([i, visited[:], dist+self.distance_matrix[self.start_city][i]])
				visited.pop()

		while stack:
			[i, visited, dist] = stack.pop()

			if len(visited) == self.num_of_city-1:
				path_length = dist + self.distance_matrix[i][self.start_city]

				if path_length < L_min:
					L_min = path_length
					S_min = [self.start_city] + visited + [i]

			else:
				for j in range(self.num_of_city):
					if j != self.start_city and j not in visited:
						stack.append([j, visited+[j], dist+self.distance_matrix[i][j]])

		return L_min, S_min

if __name__ == "__main__":
	distance_matrix = np.array([[inf, 100, 200, 300, 400], 
								[100, inf, 100, 200, 300],
								[200, 100, inf, 100, 200],
								[300, 200, 100, inf, 100],
								[400, 300, 200, 100, inf]])
	
	tsp = TravelingSalesman(distance_matrix, start_city=0)
	L_min, S_min = tsp.tsp()
	print("最短路径长度为：", L_min)
	print("最短路径为：", S_min)

以上代码实现了使用分支定界法求解旅行商问题，输入距离矩阵和起始点，输出最短路径的长度和最短路径。

代码使用了numpy库实现矩阵运算，运行前需要先安装numpy库。