如何使用逆矩阵求解方程组？

在数学中，矩阵是按矩形排列并分为行和列的数字数组。它们通常通过将所有整数括在方括号中来描述。

行列式

矩阵的行列式是给定方阵产生的标量值。行列式在线性代数中处理，并使用方阵的元素计算。行列式是使用方阵计算的标量值或数字。方阵可能是 2 × 2、3 × 3、4 × 4 或任何其他列数和行数相等的形式，例如 n × n。如果 S 是方阵的集合，R 是整数（实数或复数）的集合，并且 f: S → R 由 f (A) = k 定义，其中 A ∈ S 和 k ∈ R，则 f (A ) 称为 A 的行列式。行列式由两条垂直线表示，即|A|。

2×2 矩阵的行列式 –

$\left[\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}\right] = a ×d - b ×c$

3×3 矩阵的行列式 – $\left[\begin{matrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{matrix}\right]=a(ei-fh)-b(di-gf)+c(dh-ge)$

未成年人和辅因子

在消除该特定元素所在的矩阵的行和列之后创建的矩阵被定义为矩阵的小数。

元素 a ₁₂的次要元素是 M ₁₂ – $\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\\\end{matrix}\right]$

矩阵 A 中元素的辅因子是通过将元素的次要相乘产生的 M _ij通过 (-1) ^i+j 。 C _ij是元素辅因子的符号。如果矩阵的小数是 M _ij ，则元素的辅因子是： C _{ij =} (-1) ^i+j M _{ij 。}辅因子矩阵是由矩阵组件的辅因子创建的矩阵。

辅因子矩阵： $\left[\begin{matrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{21}&C_{22}&C_{23}\\C_{31}&C_{32}&C_{33}\\\end{matrix}\right]$

矩阵的伴随

令 A=[aij] 为 n 维方阵。矩阵 A 的伴随矩阵是 A 的辅因子矩阵的转置。它由字母 adj A 表示。伴随矩阵有时被称为伴随矩阵。方阵 A = [aij]nxn 的伴随定义为矩阵 [Aij]nxn 的转置，其中 Aij 是元素 aij 的辅因子。

$Let A = \left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}\right]$

A的伴随=转置$\left[\begin{matrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\\\end{matrix}\right]$ = $\left[\begin{matrix}A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&A_{22}&A_{32}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\\\end{matrix}\right]$

矩阵的逆

方阵 A 是可逆的当且仅当 A 是非奇异矩阵。矩阵的逆可以通过将矩阵的伴随除以矩阵的行列式来获得。可以通过以下步骤计算矩阵的逆：

• 步骤 1：确定提供的矩阵的次要。
• 步骤 2：将获取的矩阵转换为辅因子矩阵。
• 第 3 步：最后，佐证，和
• 第 4 步：乘以行列式的倒数。

让 A= $\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}\right]$

A的伴随=转置$\left[\begin{matrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\\\end{matrix}\right]$ = $\left[\begin{matrix}A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&A_{22}&A_{32}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\\\end{matrix}\right]$

逆矩阵 A = A ^{-1} = $\frac{1}{|A|} \left[\begin{matrix}A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&A_{22}&A_{32}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\\\end{matrix}\right]$

矩阵和行列式的应用

现在，让我们看看如何使用行列式和矩阵来求解具有两个或三个变量的线性方程组并评估系统的一致性。

• 一致系统：如果方程组具有（一个或多个）解，则认为它是一致的。
• 不一致的系统：如果方程组的解不存在，则称该系统是不一致的。

用矩阵方程表示线性系统

增广矩阵可用于表示方程组。增广矩阵中的每一行代表一个系统方程，而每一列代表一个变量或常数项。我们可以看到，增广矩阵是以这种方式建立方程组的捷径。

示例：将以下方程组写为增广矩阵。

x – 2y = 5

4x – 3y – z = 3

5y – 7z = 9

让我们以增强的形式编写以下矩阵。如果矩阵中没有给出变量项，则认为该项的系数为'0'。

(1)x + (-2)y + (0)z = 5

(4)x + (-3)y + (-1)z = 3

(0)x + (5)y + (-7)z = 9

下面的增广矩阵是： $\left[\begin{matrix}1&-2&0&5\\4&-3&-1&3\\0&5&-7&9\\\end{matrix}\right]$

用矩阵方程求解线性系统

使用矩阵求解线性方程是通过矩阵方法完成的。在本文中，我们将研究使用矩阵示例求解线性方程组。

用逆矩阵求解方程

让我们假设等式是： $a_1x+a_1y+a_3z=d_1 \\b_1x+b_2y+b_3z=d_2\\ c_1x+c_2y+c_3z=d_3$

矩阵法用于求解方程组。在方程中，所有变量都应该以正确的顺序书写。在适当的一边，写出变量、它们的系数和常数。

确定逆的方法用于求解线性方程组，它需要两个附加矩阵。变量由矩阵 X 表示。常数由矩阵 B 表示。使用矩阵乘法，具有与变量相同数量的方程的方程组定义为，

AX=B

令 A 为系数矩阵，X 为变量矩阵，B 为常数矩阵，以求解具有逆矩阵的线性方程组。因此，我们想要求解系统 AX = B。以下面的方程为例。

$\left[\begin{matrix}a_1x+a_2y+a_3z\\b_1x+b_2y+b_3z\\c_1x+c_2y+c_3z\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}d_1\\d_2\\d_3\\\end{matrix}\right]$

$\left[\begin{matrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x\\y\\z\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}d_1\\d_2\\d_3\\\end{matrix}\right]$

AX = B

在哪里： $A=\left[\begin{matrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\\\end{matrix}\right],X=\left[\begin{matrix}x\\y\\z\\\end{matrix}\right],B=\left[\begin{matrix}d_1\\d_2\\d_3\\\end{matrix}\right]$

情况 1：如果 A 是一个非奇异矩阵，它有一个逆矩阵。

令 A 为系数矩阵，X 为变量矩阵，B 为常数矩阵，以求解具有逆矩阵的线性方程组。因此，我们想要求解系统 AX=B。要得到答案，请将两边乘以 A 的倒数。

$(A^{-1})AX=(A^{-1})B [(A^{-1})A]X=(A^{-1})B IX=(A^{-1})B X=(A^{-1})B$

由于矩阵的逆是唯一的，因此该矩阵方程为给定的方程组提供了唯一的解。矩阵法是一种求解方程组的方法。

情况 2：如果 A 是奇异矩阵，则 |一个| = 0。在这种情况下，计算 (adj A) B。

如果 (adj A) B ≠ O，（O 是零矩阵），则解不存在，方程组称为不一致。

如果 (adj A) B = O，则系统可能是一致的，也可能是不一致的，因为系统要么有无限多的解，要么没有解。

示例问题

问题1：找到给定矩阵的以下内容$A=\left[\begin{matrix}3&2&-1\\-5&0&-2\\3&4&-1\\\end{matrix}\right]$

• 矩阵 A 的行列式
• 辅因子矩阵 A
• 矩阵 A 的伴随
• 矩阵 A 的逆

解决方案：

The given matrix is $A=\left[\begin{matrix}3&2&-1\\-5&0&-2\\3&4&-1\\\end{matrix}\right]$

• Determinant of the A = $3(0\times (-1) - 4\times(-2))+5(2\times(-1)-4\times(-1))+3(2\times(-2)-0\times (-1))$

= 3(0+8)+5(-2+4)+3(-4)

= 3 × 8 + 5 × 2 + 3 × (-4)

= 24 + 10 – 12 units

• Cofactor of matrix A =

C₁₁​ = 0 × (-1) -4 × (-2) = 0 + 8 = 8

C₁₂ ​= -((-5) × (-1) -3 × (-2)) = -(5 + 6) = -11

C_{13 ​}= (-5) × 4 -3 × 0 = -20

C₂₁ = −(2 × (-1) -4 × (-1)) = -(-2 + 4) = -2

C₂₂ ​= 3 × (-1) -3 × (-1) = -3 + 3 = 0  

C_{23 ​}= -(3 × 4 – 3 × 2) = -(12 – 6) = -6

C₃₁​ = 2 × (-2) – 0 × (-1) = -4             

C₃₂ ​= -(3 × (-2) – (-5) × (-1)) = -(-6 – 5) = 11   

C_33​ = 3 × 0 – (-5) × 2 = 10

Cofactor matrix of A = $C=\left[\begin{matrix}8&-11&-20\\-2&0&-6\\-4&11&10\\\end{matrix}\right]$

• AdjoinT of matrix A = transpose of cofactor matrix C = $C=\left[\begin{matrix}8&-11&-20\\-2&0&-6\\-4&11&10\\\end{matrix}\right]^{'}$

$C=\left[\begin{matrix}8&-2&-4\\-11&0&11\\-20&-6&10\\\end{matrix}\right]$

• Inverse of matrix A = $A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj.A$

= $\frac{1}{22} \left[\begin{matrix}8&-2&-4\\-11&0&11\\-20&-6&10\\\end{matrix}\right]$

= $\left[\begin{matrix}\frac{4}{11}&\frac{-1}{11}&\frac{-2}{11}\\\frac{-1}{2}&0&\frac{1}{2}\\\frac{-10}{11}&\frac{-3}{11}&\frac{5}{11}\\\end{matrix}\right]$

问题 2：Ram 受雇从事每月支付特定金额且每年增加预定金额的工作。如果他的工资在服务 1 年后的第一个月月底为每月 300 美元，在服务 3 年后的第一个月月底为每月 600 美元，则求他的起薪和年增长率。

解决方案：

Let “x” and “y” represent the monthly salary and a yearly increase of a certain amount, respectively.

According to the question;

x + y = 300 ⇢ (i)

x + 3y = 600 ⇢ (ii)

This can be written as AX = B, where

$A=\left[\begin{matrix}1&1\\1&3\\\end{matrix}\right],X=\left[\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}\right] ,B=\left[\begin{matrix}300\\600\\\end{matrix}\right]$

Determinant of A = 1 × 3 – 1 × 1 = 3 – 1 = 2

Adjoin of A = $\left[\begin{matrix}3&-1\\-1&1\\\end{matrix}\right]$

Thus, $A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj.A$

 $A^{-1}=\frac{1}{2}\left[\begin{matrix}3&-1\\-1&1\\\end{matrix}\right]$

Using Matrix Inverse,

X = A^-1B

$X= \frac{1}{2} \left[\begin{matrix}3&-1\\-1&1\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}300\\600\\\end{matrix}\right]$

$X=\frac{1}{2} \left[\begin{matrix}3\times300+(-1)\times600\\(-1)\times300+1\times600\\\end{matrix}\right]$

$X= \frac{1}{2} \left[\begin{matrix}300\\300\\\end{matrix}\right]$

$X=\left[\begin{matrix}150\\150\\\end{matrix}\right]$

Therefore; x = $150, y = $150

So, the monthly salary is $150 and the annual increment is $150.

问题 3：三个数的和是 3。如果我们将第二个数乘以 2 并加上第一个数，我们得到 6。如果我们将第三个数乘以 4 并加上第二个数，我们得到 10 . 用代数表示它并使用矩阵方法找到数字。

解决方案：

Let x, y, and z represent the first, second, and third numbers, respectively. Then, according to the question, we have

x + y + z = 3

x + 2y = 6

y + 4z = 10

This can be written as AX = B, where $A=\left[\begin{matrix}1&1&1\\1&2&0\\0&1&4\\\end{matrix}\right],X=\left[\begin{matrix}x\\y\\z\\\end{matrix}\right] ,B=\left[\begin{matrix}3\\10\\6\\\end{matrix}\right]$

Here, |A|= 1(8 – 0) – 1(4 – 0) + 1(1 – 0) = 8 – 4 + 1 = 5 ≠ 0. Now, find adj A.

A₁₁ = 8 – 0 = 8, A₁₂ = -(4 – 0) = -4, A₁₃ = 1 – 0 = 1

A₂₁ = -(4 – 1) = -3, A₂₂ = 4 – 0 = 4, A₂₃ = -(1 – 0) = -1

A₃₁ = 0 – 2 = -2, A₃₂ = -(0 – 1) = 1, A₃₃ = 2 – 1 = 1

Adj. A = $\left[\begin{matrix}8&-3&-2\\-4&4&1\\1&-1&1\\\end{matrix}\right]$

Thus, $A^{-1}=\frac{1}{|A|}Adj. of A=\frac{1}{5}\left[\begin{matrix}8&-3&-2\\-4&4&1\\1&-1&1\\\end{matrix}\right]$

X = A^-1B

 $X=\frac{1}{5}\left[\begin{matrix}8&-3&-2\\-4&4&1\\1&-1&1\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}3\\10\\6\\\end{matrix}\right]$

$\left[\begin{matrix}x\\y\\z\\\end{matrix}\right]=\frac{1}{5}\left[\begin{matrix}24-30-12\\-12+40+6\\3-10+6\\\end{matrix}\right]=\frac{1}{5}\left[\begin{matrix}-18\\34\\-1\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}\frac{-18}{5}\\\frac{34}{5}\\\frac{-1}{5}\\\end{matrix}\right]$

Therefore;

$X=\frac{-18}{5}, Y= \frac{34}{5}, Z=\frac{-1}{5}$

问题 4：假设 Joe、Max 和 Polly 在商场购物。乔为 4 公斤苹果、7 公斤香蕉和 6 公斤番石榴支付 45 美元，马克斯为 2 公斤苹果和 5 公斤番石榴支付 30 美元，波莉为 3 公斤苹果支付 35 美元， 1公斤香蕉和4公斤番石榴。苹果、香蕉和番石榴多少钱一公斤？

解决方案：

Let x, y, and z represent the number of apples, bananas, and guavas, respectively.

In accordance to the question:

4x + 7y + 6z = 45

2 x + 5 z = 30

3x + y + 4z = 35

Matrix A contains the kg of apples, bananas, and guavas bought by Joe, Max, and Polly. Matrix B contains the prices paid by the three and matrix X contains the variables.

$A=\left[\begin{matrix}4&7&6\\2&0&5\\3&1&4\\\end{matrix}\right],X=\left[\begin{matrix}x\\y\\z\\\end{matrix}\right] ,B=\left[\begin{matrix}45\\30\\35\\\end{matrix}\right]$

The solution of the given system of equations be X = A^-1 B.

In order to find the inverse of A, we will first find the determinant of A.

$A=\left[\begin{matrix}4&7&6\\2&0&5\\3&1&4\\\end{matrix}\right],X=\left[\begin{matrix}x\\y\\z\\\end{matrix}\right] ,B=\left[\begin{matrix}45\\30\\35\\\end{matrix}\right]$

$A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj. A$

Determinant of A = |A| = 4(0 × 4 – 1 × 5) – 7(2 × 4 – 5 × 3) + 6(2 × 1 – 3 × 0)

= 4(0 – 5) – 7(8 – 15) + 6(2 – 0)

= -20 – 7(-7) + 12

= -20 + 49 + 12 = 41

Adj. of A = $\left[\begin{matrix}-5&-22&35\\7&-2&-6\\2&17&-14\\\end{matrix}\right]$

$A^{-1}=\frac{1}{41}adj.A$

$X=A^{-1}B=\frac{1}{41}\left[\begin{matrix}-5&-22&35\\7&-2&-6\\2&17&-14\\\end{matrix}\right]\times \left[\begin{matrix}45\\30\\35\\\end{matrix}\right]$

$X=\frac{1}{41}\left[\begin{matrix}340\\45\\110\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}8.3\\1.1\\2.7\\\end{matrix}\right]$

The cost of apples per kg = 8.3/-

The cost of bananas per kg = 1.1/-

The cost of guavas per kg = 2.7/-

问题5：2公斤土豆、3公斤西红柿、2公斤面粉的成本是50。5公斤土豆、1公斤西红柿和6公斤面粉的成本是40。4公斤土豆、6公斤西红柿和3公斤面粉的成本kg 面粉是 60。通过矩阵的倒数求每公斤的成本。

解决方案：

Let x, y, and z represent the kg of potatoes, tomatoes, and flour, respectively.

In accordance to the question:

2x + 3y + 2z = 50

5x + 1y + 6z = 40

4x + 6y + 3z = 60

Matrix A contains the kg of potatoes, tomatoes and flour. Matrix B contains the prices paid and matrix X contains the variables. This can be written as AX = B, where  $A=\left[\begin{matrix}2&3&2\\5&1&6\\4&6&3\\\end{matrix}\right],X=\left[\begin{matrix}x\\y\\z\\\end{matrix}\right] ,B=\left[\begin{matrix}50\\40\\60\\\end{matrix}\right]$

The solution of the given system of equations is X = A^-1B. In order to find the inverse of A, we will first find the determinant of A.

Determinant of A |A| = 2(3 – 36) – 3(15 – 24) + 2(30 – 4) = 2 × (-33) – 3(-9) + 2(26) = -66 + 27 + 52 = 13

Now, find the adjoint of A to get the inverse of A.

A₁₁ = 3 – 36 = -33, A₁₂ = -(15 – 24) = 9, A₁₃ = 30 – 4 = 26

A₂₁ = -(9 – 12) = 3, A₂₂ = 6 – 8 = -2, A₂₃ = -(12 – 12) = 0

A^{-1}=$A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj.A=\frac{1}{13}\left[\begin{matrix}-33&3&16\\9&-2&-2\\26&0&-13\\\end{matrix}\right]$

A₃₁ = 18 – 2 = 16, A₃₂ = -(12 – 10) = -2, A₃₃ = 2 – 15 = -13

Thus, $Adj. A=\left[\begin{matrix}-33&3&16\\9&-2&-2\\26&0&-13\\\end{matrix}\right]$

X = A^-1B

$X=\frac{1}{13}\left[\begin{matrix}-33&3&16\\9&-2&-2\\26&0&-13\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}50\\40\\60\\\end{matrix}\right]$

$\left[\begin{matrix}x\\y\\z\\\end{matrix}\right]=\frac{1}{13}\left[\begin{matrix}-33\times50+3\times40+16\times 60\\9\times 50-2\times 40-2\times 60\\26\times 50+0\times 40-13\times 60\\\end{matrix}\right]=\frac{1}{13}\left[\begin{matrix}-570\\250\\520\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}-43.8\\19.2\\40\\\end{matrix}\right]$

x = 43.8, y = 19.2, z = 40