复数傅里叶变换也称为双边拉普拉斯变换。这用于求解微分方程。考虑一个由x(t)= Ge ^st形式的复指数信号退出的LTI系统。

其中s =任何复数= $ \ sigma + j \ omega $，

σ= s的实数，并且

ω= s的虚数

LTI的响应可以通过输入与其脉冲响应的卷积获得，即

$ y(t)= x(t)\次h(t)= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \，h(\ tau)\，x(t- \ tau)d \ tau $

$ = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \，h(\ tau)\，Ge ^ {s(t- \ tau)} d \ tau $

$ = Ge ^ {st}。 \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \，h(\ tau)\，e ^ {(-s \ tau)} d \ tau $

$ y(t)= Ge ^ {st} .H(S)= x(t).H(S)$

其中H(S)= $ h(\ tau)的Laplace变换= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} h(\ tau)e ^ {-s \ tau} d \ tau $

类似地，$ x(t)= X(S)= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x(t)e ^ {-st} dt \，… \，…( 1)$

拉普拉斯和傅立叶变换之间的关系

$ x(t)= X(S)= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x(t)e ^ {-st} dt $的拉普拉斯变换

用上式代替s =σ+jω。

$→X(\ sigma + j \ omega)= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \，x(t)e ^ {-(\ sigma + j \ omega)t} dt $

$ = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} [x(t)e ^ {-\ sigma t}] e ^ {-j \ omega t} dt $

$ \因此X(S)= FT [x(t)e ^ {-\ sigma t}] \，… \，…(2)$

$ X(S)= X(\ omega)\ quad \ quad for \，\，s = j \ omega $

拉普拉斯逆变换

您知道$ X(S)= FT [x(t)e ^ {-\ sigma t}] $

$ \ to x(t)e ^ {-\ sigma t} = FT ^ {-1} [X(S)] = FT ^ {-1} [X(\ sigma + j \ omega)] $

$ = {1 \ over 2} \ pi \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} X(\ sigma + j \ omega)e ^ {j \ omega t} d \ omega $

$ x(t)= e ^ {\ sigma t} {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} X(\ sigma + j \ omega)e ^ {j \ omega t} d \ omega $

$ = {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} X(\ sigma + j \ omega)e ^ {(\ sigma + j \ omega)t} d \ omega \,。 .. \，…(3)$

在这里，$ \ sigma + j \ omega = s $

$jdω= ds→dω= ds / j $

$ \因此x(t)= {1 \ over 2 \ pi j} \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} X(s)e ^ {st} ds \，… \，…( 4)$

等式1和4表示信号x(t)的拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换。

拉普拉斯变换存在的条件

Dirichlet的条件用于定义拉普拉斯变换的存在。即

• 函数f(t)具有最大值和最小值的有限数量。

• 在给定的时间间隔内，信号f(t)中必须存在有限数量的不连续性。

• 在给定的时间间隔内，它必须是绝对可积的。即

  $ \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} | \，f(t)| \，dt \ lt \ infty $

初值和终值定理

如果未知函数x(t)的拉普拉斯变换是已知的，则有可能确定该未知信号的初始值和最终值，即在t = 0 ⁺和t =∞时的x(t)。

初值定理

声明：如果x(t)及其一阶导数是Laplace可变换的，则x(t)的初始值由

$$ x(0 ^ +)= \ lim_ {s \ to \ infty}⁡SX(S)$$

终值定理

声明：如果x(t)及其一阶导数是Laplace可变换的，则x(t)的最终值由

$$ x(\ infty)= \ lim_ {s \ to \ infty}⁡SX(S)$$