令S为$ \ mathbb {R} ^ n $中的一个非空，封闭且有界的集合(也称为紧凑集)，并使$ f：S \ rightarrow \ mathbb {R} $为S上的连续函数，则问题min $ \ left \ {f \ left(x \ right)：x \ in S \ right \} $达到最小值。

证明

由于S是非空且有界的，因此存在下界。

$ \ alpha = Inf \ left \ {f \ left(x \ right)：x \ in S \ right \} $

现在让$ S_j = \ left \ {x \ in S：\ alpha \ leq f \ left(x \ right)\ leq \ alpha + \ delta ^ j \ right \} \ forall j = 1,2，… $和$ \ delta \ in \ left(0,1 \ right)$

根据无限量的定义，对于每个$ j $，$ S_j $是非空的。

在S_j $中选择一些$ x_j \以获得$ j = 1,2，… $的序列$ \ left \ {x_j \ right \} $

由于S是有界的，因此序列也有界，并且有一个收敛的子序列$ \ left \ {y_j \ right \} $，收敛为$ \ hat {x} $。因此，$ \ hat {x} $是一个极限点，并且S是封闭的，因此，$ \ hat {x} \ in S $。由于f是连续的，因此$ f \ left(y_i \ right)\ rightarrow f \ left(\ hat {x} \ right)$。

由于$ \ alpha \ leq f \ left(y_i \ right)\ leq \ alpha + \ delta ^ k，\ alpha = \ displaystyle \ lim_ {k \ rightarrow \ infty} f \ left(y_i \ right)= f \ left( \ hat {x} \ right)$

因此，$ \ hat {x} $是最小化解决方案。

备注

Weierstrass定理要满足两个重要的必要条件。这些如下-

• 步骤1-集S应该是有界集。

  考虑函数f \ left(x \ right)= x $。

  它是一个无界集合，并且在其域中的任何时候都具有最小值。

  因此，为了获得最小值，S应该是有界的。

• 步骤2-集S应该关闭。

  考虑域\ left(0,1 \ right)中的函数$ f \ left(x \ right)= \ frac {1} {x} $。

  该函数在给定的域中没有关闭，并且它的最小值也不存在。

  因此，为了获得最小值，应该关闭S。