框图代数不过是涉及框图基本元素的代数。该代数涉及代数方程的图形表示。

块的基本连接

两个块之间存在三种基本连接类型。

串联

串联也称为级联。在下图中，两个具有传递函数$ G_1(s)$和$ G_2(s)$的块串联连接。

对于此组合，我们将获得输出$ Y(s)$作为

$$ Y(s)= G_2(s)$$

其中，$ Z(s)= G_1(s)X(s)$

$$ \ Rightarrow Y(s)= G_2(s)[G_1(s)X(s)] = G_1(s)G_2(s)X(s)$$

$$ \ Rightarrow Y(s)= \ lbrace G_1(s)G_2(s)\ rbrace X(s)$$

将此方程与输出方程的标准形式$ Y(s)= G(s)X(s)$进行比较。其中，$ G(s)= G_1(s)G_2(s)$。

这意味着我们可以用一个块表示两个块的串联。此单个块的传递函数是这些两个块的传递函数的乘积。等效框图如下所示。

同样，您可以用单个块表示“ n”个块的串联。此单个块的传递函数是所有那些“n”个块的传递函数的乘积。

并联

并行连接的块将具有相同的输入。在下图中，两个具有传递函数$ G_1(s)$和$ G_2(s)$的块并联连接。这两个模块的输出连接到求和点。

对于此组合，我们将获得输出$ Y(s)$作为

$$ Y(s)= Y_1(s)+ Y_2(s)$$

其中，$ Y_1(s)= G_1(s)X $和$ Y_2(s)= G_2(s)X $

$$ \ Rightarrow Y(s)= G_1(s)X(s)+ G_2(s)X(s)= \ lbrace G_1(s)+ G_2(s)\ rbrace X(s)$$

将此方程与输出方程的标准形式$ Y(s)= G(s)X(s)$进行比较。

其中，$ G(s)= G_1(s)+ G_2(s)$。

这意味着我们可以用一个块表示两个块的并行连接。此单个块的传递函数是这些两个块的传递函数的总和。等效框图如下所示。

同样，您可以用单个块表示“ n”个块的并行连接。此单个块的传递函数是所有那些“n”个块的传递函数的代数和。

反馈连接

正如我们在前几章中所讨论的，反馈有两种类型-正反馈和负反馈。下图显示了负反馈控制系统。在此，具有传递函数$ G(s)$和$ H(s)$的两个块形成闭环。

求和点的输出是-

$$ E(s)= X(s)-H(y)$$

输出$ Y(s)$是-

$$ Y(s)= E(s)G(s)$$

用上面的公式替换$ E(s)$的值。

$$ Y(s)= \ left \ {X(s)-H(s)Y(s)\ rbrace G(s)\ right \} $$

$$ Y(s)\ left \ {1 + G(s)H(s)\ rbrace = X(s)G(s \ right \} $$

$$ \ Rightarrow \ frac {Y(s)} {X(s}} = \ frac {G(s)} {1 + G(s)H $} $$

因此，负反馈闭环传递函数为$ \ frac {G(s)} {1 + G(s)H(s)} $

这意味着我们可以用一个块表示两个块的负反馈连接。此单个块的传递函数是负反馈的闭环传递函数。等效框图如下所示。

同样，您可以用一个块表示两个块的正反馈连接。此单个块的传递函数是正反馈的闭环传递函数，即$ \压裂{G(S)} {1-G(S)H(S)} $

求和点的框图代数

相对于块移动求和点有两种可能性-

• 块后移动求和点
• 求和点移动到程序段之前

现在，让我们看看在以上两种情况下需要做什么样的安排。

块后移动求和点

考虑下图所示的框图。在此，求和点位于该块之前。

求和点有两个输入$ R(s)$和$ X(s)$。输出为$ \ left \ {R(s)+ X(s)\ right \} $。

因此，块$ G(s)$的输入为$ \ left \ {R(s)+ X(s)\ right \} $，其输出为–

$$ Y(s)= G(s)\左\ {R(s)+ X(s)\右\} $$

$ \ Rightarrow Y(s)= G(s)R(s)+ G(s)X(s)$ (等式1)

现在，将求和点移动到该块之后。下图显示了此框图。

块$ G(s)$的输出为$ G(s)R(s)$。

求和点的输出是

$ Y(s)= G(s)R(s)+ X(s)$ (等式2)

比较公式1和公式2。

两个方程中的第一项$’G(s)R(s)’$是相同的。但是，第二学期有所不同。为了使第二项也相同，我们需要再加上一个块$ G(s)$。它具有输入$ X(s)$，并且此块的输出作为输入给求和点而不是$ X(s)$。下图显示了此框图。

求和点移动求和点

考虑下图所示的框图。在此，求和点位于该块之后。

该框图的输出是-

$ Y(s)= G(s)R(s)+ X(s)$ (等式3)

现在，将求和点移动到块之前。下图显示了此框图。

该框图的输出是-

$ Y(S)= G(s)R(s)+ G(s)X(s)$ (公式4)

比较公式3和公式4

两个方程中的第一项$’G(s)R(s)’$是相同的。但是，第二学期有所不同。为了使第二项也相同，我们需要再加上一个块$ \ frac {1} {G(s)} $。它具有输入$ X(s)$，并且此块的输出作为输入给求和点而不是$ X(s)$。下图显示了此框图。

起飞点的方框图代数

相对于模块移动起飞点有两种可能性-

• 障碍物后的转移起飞点
• 起飞前的转移起飞点

现在让我们看看在以上两种情况下将要进行什么样的安排。

起飞后转移起飞点

考虑下图所示的框图。在这种情况下，起飞点位于障碍物之前。

在此，$ X(s)= R(s)$和$ Y(s)= G(s)R(s)$

在程序段后移动起飞点时，输出$ Y(s)$将相同。但是，$ X(s)$的值存在差异。因此，为了获得相同的$ X(s)$值，我们需要再加上一个块$ \ frac {1} {G(s)} $。它具有输入$ Y(s)$，输出为$ X(s)$。下图显示了此框图。

起飞前转移起飞点

考虑下图所示的框图。在此，起飞点位于障碍物之后。

在此，$ X(s)= Y(s)= G(s)R(s)$

当您将起飞点移至程序段之前时，输出$ Y(s)$将相同。但是，$ X(s)$的值存在差异。因此，为了获得相同的$ X(s)$值，我们需要再加上一个块$ G(s)$。它具有输入$ R(s)$，输出为$ X(s)$。下图显示了此框图。