代数 |设置-1

代数问题基本上涉及将单词问题建模为方程，然后解决它们。一些在解决代数问题时派上用场的非常基本的公式是：

• (a + b) ² = a ² + b ² + 2 ab
• (a – b) ² = a ² + b ² – 2 ab
• (a + b) ² – (a – b) ² = 4 ab
• (a + b) ² + (a – b) ² = 2 (a ² + b ² )
• (a ² – b ² ) = (a + b) (a – b)
• (a + b + c) ² = a ² + b ² + c ² + 2 (ab + bc + ca)
• (a ³ + b ³ ) = (a + b) (a ² – ab + b ² )
• (a ³ – b ³ ) = (a – b) (a ² + ab + b ² )
• (a ³ + b ³ + c ³ – 3 abc) = (a + b + c) (a ² + b ² + c ² – ab – bc – ca)
• 如果 a + b + c = 0，则 a ³ + b ³ + c ³ = 3 abc
• 对于二次方程 ax ² + bx + c = 0， $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

示例问题

问题 1：一个数大于 46 和小于 78 一样多。找出这个数。
解决方案：在这类问题中，我们只需将两个给定的数字相加并除以 2 即可获得所需的数字。
因此，所需数量 = (46 + 78) / 2 = 124 / 2 = 62长方法：
让所需的数字为“n”。
=> n – 46 = 78 – n
=> 2 n = 46 + 78
=> 2 n = 124
=> n = 62
因此，所需的数字是 62。问题 2：找出一个数，使 4 倍的数减去 55，结果是 5 的 2 倍以上。
解决方案：让所需的数字为“n”。
=> 4 n – 55 = 2 n + 5
=> 2 n = 60
=> n = 30
因此，30 是所需的数字。问题 3：一个数和它的倒数之和是 41 / 20。找出这个数。
解决方案：让数字为“n”。
=> n + (1/n) = 41 / 20
=> 20 (n ² + 1) = 41 n
=> 20 n ² – 41 n + 20 = 0
=> 20 n ² – 16 n – 25 n + 20 = 0
=> (5 n – 4) (4 n – 5) = 0
=> n = 4/5 或 5/4
因此，所需的数字是 4/5 或 5/4问题 4：两个数的和是 132。如果较小的三分之一超过较大的六分之一乘以 8，请找出这些数字。
解决方案：让这两个数字是“x”和“y”，使得 x > y。
=> x + y = 132 和 (y/3) = (x/6) + 8
=> x + y = 132 和 2 y – x = 48
=> x = 72 和 y = 60问题 5：两个数之和为 24，乘积为 128。求数的绝对差。
解决方案：让数字为“x”和“y”。
=> x + y = 24 和 xy = 128
在这里，我们需要应用公式 (x + y) ² – (x – y) ² = 4xy
=> (24) ² – (x – y) ² = 4 x (128)
=> (x – y) ² = (24) ² – 4 x (128)
=> (x – y) ² = 576 – 512
=> (x – y) ² = 64
=> |x – y| = 8
因此，两个数字的绝对差 = 8问题6：两位数n与n的数位互换得到的数之和为88。n的位数相差4，十位大于个位。找到数字“n”。
解决方案：让数字为 ‘xy’，其中 x 和 y 是个位数。
=> 数字是 10x + y
=> 数字的倒数 = yx = 10y + x
=> 总和 = 11 x + 11 y = 11 (x + y) = 88 (给定)
=> x + y = 8
此外，我们还给出了数字的差为 4 且 x > y。
=> x – y = 4
因此，x = 6 和 y = 2
因此，数字是 62。

代数问题 |组 2

代数课程

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