在稳态期间，控制系统的输出与所需响应的偏差称为稳态误差。它表示为$ e_ {ss} $。我们可以使用最终值定理找到稳态误差，如下所示。

$$ e_ {ss} = \ lim_ {t \ to \ infty} e(t)= \ lim_ {s \ to 0} sE(s)$$

哪里，

E(s)是误差信号$ e(t)$的拉普拉斯变换

让我们讨论如何一一找到统一反馈和非统一反馈控制系统的稳态误差。

Unity反馈系统的稳态错误

考虑以下具有统一负反馈的闭环控制系统框图。

哪里，

• R(s)是参考输入信号$ r(t)$的拉普拉斯变换
• C(s)是输出信号$ c(t)$的拉普拉斯变换

我们知道统一负反馈闭环控制系统的传递函数为

$$ \ frac {C(s)} {R(s)} = \ frac {G(s)} {1 + G(s)} $$

$$ \ Rightarrow C(s)= \ frac {R(s)G(s)} {1 + G(s)} $$

求和点的输出是-

$$ E(s)= R(s)-C(s)$$

用上面的公式替换$ C(s)$的值。

$$ E(s)= R(s)-\ frac {R(s)G(s)} {1 + G(s)} $$

$$ \ Rightarrow E(s)= \ frac {R(s)+ R(s)G(s)-R(s)G(s)} {1 + G(s)} $$

$$ \ Rightarrow E(s)= \ frac {R(s)} {1 + G(s)} $$

将$ E(s)$值替换为稳态误差公式

$$ e_ {ss} = \ lim_ {s \ to 0} \ frac {sR(s)} {1 + G(s)} $$

下表显示了稳态误差和标准输入信号(例如单位阶跃，单位斜坡和单位抛物线信号)的误差常数。

其中，$ K_p $，$ K_v $和$ K_a $分别是位置误差常数，速度误差常数和加速度误差常数。

注-如果以上任何输入信号的幅度都不是单位，则将相应的稳态误差乘以该幅度。

注意-我们无法为单位脉冲信号定义稳态误差，因为它仅存在于原点。因此，我们无法将脉冲响应与单位脉冲输入进行比较，因为t表示无穷大。

例

让我们找到带有$ G的单位负反馈控制系统的输入信号$ r(t)= \ left(5 + 2t + \ frac {t ^ 2} {2} \ right)u(t)$的稳态误差(s)= \ frac {5(s + 4)} {s ^ 2(s + 1)(s + 20)} $

给定的输入信号是三个信号阶跃，斜坡和抛物线的组合。下表显示了这三个信号的误差常数和稳态误差值。

通过添加以上三个稳态误差，我们将获得整体稳态误差。

$$ e_ {ss} = e_ {ss1} + e_ {ss2} + e_ {ss3} $$

$$ \ Rightarrow e_ {ss} = 0 + 0 + 1 = 1 $$

因此，在此示例中，稳态误差$ e_ {ss} $为1 。

非单位反馈系统的稳态误差

考虑以下具有闭环负反馈的闭环控制系统框图。

我们只能找到统一反馈系统的稳态误差。因此，我们必须将非统一反馈系统转换为统一反馈系统。为此，在上述框图中包括一条统一的正反馈路径和一条统一的负反馈路径。新的框图如下所示。

通过保持原样的单位负反馈来简化上述框图。以下是简化框图。

该框图类似于统一的负反馈闭环控制系统的框图。在此，单个块具有传递函数$ \ frac {G(s)} {1 + G(s)H(s)-G(s)} $而不是$ G(s)$。现在，您可以使用为单位负反馈系统提供的稳态误差公式来计算稳态误差。

注意：对于不稳定的闭环系统，找到稳态误差是没有意义的。因此，我们仅需为闭环稳定系统计算稳态误差。这意味着我们需要在找到稳态误差之前检查控制系统是否稳定。在下一章中，我们将讨论与概念相关的稳定性。