线性时不变(LTI)系统的状态空间模型可以表示为：

$$ \ dot {X} = AX + BU $$

$$ Y = CX + DU $$

第一和第二方程分别称为状态方程和输出方程。

哪里，

• X和$ \ dot {X} $分别是状态向量和微分状态向量。

• U和Y分别是输入向量和输出向量。

• A是系统矩阵。

• B和C是输入和输出矩阵。

• D是前馈矩阵。

状态空间模型的基本概念

本章涉及以下基本术语。

州

它是一组变量，它们汇总了系统的历史记录，以便预测将来的值(输出)。

状态变量

所需状态变量的数量等于系统中存在的存储元素的数量。

示例-电流流过电感器，电容器两端的电压

状态向量

它是一个向量，其中包含状态变量作为元素。

在前面的章节中，我们讨论了控制系统的两个数学模型。这些是微分方程模型和传递函数模型。可以从这两个数学模型中的任何一个获得状态空间模型。现在让我们一一讨论这两种方法。

微分方程的状态空间模型

考虑以下系列的RLC电路。它具有输入电压$ v_i(t)$，流经电路的电流为$ i(t)$。

该电路中有两个存储元件(电感器和电容器)。因此，状态变量的数量等于2，这些状态变量是流过电感器的电流$ i(t)$和电容器两端的电压$ v_c(t)$。

在电路中，输出电压$ v_0(t)$等于电容器两端的电压$ v_c(t)$。

$$ v_0(t)= v_c(t)$$

在回路上施加KVL。

$$ v_i(t)= Ri(t)+ L \ frac {\ text {d} i(t)} {\ text {d} t} + v_c(t)$$

$$ \ Rightarrow \ frac {\ text {d} i(t)} {\ text {d} t} =-\ frac {Ri(t)} {L}-\ frac {v_c(t)} {L} + \ frac {v_i(t)} {L} $$

电容器两端的电压为-

$$ v_c(t)= \ frac {1} {C} \ int i(t)dt $$

关于时间微分上述方程式。

$$ \ frac {\ text {d} v_c(t)} {\ text {d} t} = \ frac {i(t)} {C} $$

状态向量$ X = \ begin {bmatrix} i(t)\\ v_c(t)\ end {bmatrix} $

微分状态向量$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ text {d} i(t)} {\ text {d} t} \\\ frac {\ text {d} v_c(t )} {\ text {d} t} \ end {bmatrix} $

我们可以将微分方程和输出方程安排成状态空间模型的标准形式，如下所示：

$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ text {d} i(t)} {\ text {d} t} \\\ frac {\ text {d} v_c(t)} { \ text {d} t} \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix}-\ frac {R} {L}＆-\ frac {1} {L} \\\ frac {1} {C}＆0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} i(t)\\ v_c(t)\ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} \ frac {1} {L} \\ 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix } v_i(t)\ end {bmatrix} $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 0和1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} i(t)\\ v_c(t)\ end {bmatrix} $$

哪里，

$$ A = \开始{bmatrix}-\ frac {R} {L}＆-\ frac {1} {L} \\\ frac {1} {C}＆0 \ end {bmatrix}，\：B = \ begin {bmatrix} \ frac {1} {L} \\ 0 \ end {bmatrix}，\：C = \ begin {bmatrix} 0＆1 \ end {bmatrix} \：和\：D = \ begin {bmatrix } 0 \ end {bmatrix} $$

传递函数的状态空间模型

根据分子中存在的项的类型考虑两种类型的传递函数。

• 在分子中具有常数项的传递函数。
• 分子中具有多项式函数s的传递函数。

分子中具有常数项的传递函数

考虑系统的以下传递函数

$$ \ frac {Y(s)} {U(s)} = \ frac {b_0} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + … + a_1s + a_0} $ $

重新排列，上面的等式为

$$(s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + … + a_0)Y(s)= b_0 U $ s $$

在两侧应用逆Laplace变换。

$$ \ frac {\ text {d} ^ ny(t)} {\ text {d} t ^ n} + a_ {n-1} \ frac {\ text {d} ^ {n-1} y(t )} {\ text {d} t ^ {n-1}} + … + a_1 \ frac {\ text {d} y(t)} {\ text {d} t} + a_0y(t)= b_0 u(t)$$

让

$$ y(t)= x_1 $$

$$ \ frac {\ text {d} y(t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ dot {x} _1 $$

$$ \ frac {\ text {d} ^ 2y(t)} {\ text {d} t ^ 2} = x_3 = \ dot {x} _2 $$

$$。$$

$$。$$

$$。$$

$$ \ frac {\ text {d} ^ {n-1} y(t)} {\ text {d} t ^ {n-1}} = x_n = \ dot {x} _ {n-1} $ $

$$ \ frac {\ text {d} ^ ny(t)} {\ text {d} t ^ n} = \ dot {x} _n $$

和$ u(t)= u $

然后，

$$ \ dot {x} _n + a_ {n-1} x_n + … + a_1x_2 + a_0x_1 = b_0 u $$

从上面的方程式，我们可以写出下面的状态方程式。

$$ \ dot {x} _n = -a_0x_1-a_1x_2 -…- a_ {n-1} x_n + b_0 u $$

输出方程为-

$$ y(t)= y = x_1 $$

状态空间模型是-

$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \\\ vdots \\\ dot {x} _ {n-1} \\\ dot {x} _n \ end {bmatrix} $

$$ = \开始{bmatrix} 0＆1＆0＆\ dotso＆0＆0 \\ 0＆0＆1＆\ dotso＆0＆0 \\\ vdots＆\ vdots＆\ vdots＆\ dotso＆\ vdots ＆\ vdots \\ 0＆0＆0＆\ dotso＆0＆1 \\-a_0＆-a_1＆-a_2＆\ dotso＆-a_ {n-2}＆-a_ {n-1} \ end {bmatrix } \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\ b_0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} u \ end {bmatrix} $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 1＆0＆\ dotso＆0＆0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$

在这里，$ D = \ left [0 \ right]。$

例

找到具有传递函数的系统的状态空间模型。

$$ \ frac {Y(s)} {U(s)} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$

重新排列，上面的等式为，

$$(s ^ 2 + s + 1)Y(s)= U(s)$$

在两侧应用逆Laplace变换。

$$ \ frac {\ text {d} ^ 2y(t)} {\ text {d} t ^ 2} + \ frac {\ text {d} y(t)} {\ text {d} t} + y (t)= u(t)$$

让

$$ y(t)= x_1 $$

$$ \ frac {\ text {d} y(t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ dot {x} _1 $$

和$ u(t)= u $

然后，状态方程为

$$ \ dot {x} _2 = -x_1-x_2 + u $$

输出方程为

$$ y(t)= y = x_1 $$

状态空间模型是

$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 0＆1 \\-1＆-1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} \ left [u \ right] $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 1＆0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$

分子中具有多项式函数s的传递函数

考虑系统的以下传递函数

$$ \ frac {Y(s)} {U(s)} = \ frac {b_n s ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + … + b_1s + b_0} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + … + a_1 s + a_0} $$

$$ \ Rightarrow \ frac {Y(s)} {U(s)} = \ left(\ frac {1} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + … + a_1 s + a_0} \ right)(b_n s ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + … + b_1s + b_0)$$

上式是两个级联的传递函数乘积的形式。

$$ \ frac {Y(s)} {U(s)} = \ left(\ frac {V(s)} {U(s}} \ right)\ left(\ frac {Y(s)} {V (s)} \ right)$$

这里，

$$ \ frac {V(s)} {U(s)} = \ frac {1} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + … + a_1 s + a_0} $$

重新排列，上面的等式为

$$(s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + … + a_0)V(s)= U(s)$$

在两侧应用逆Laplace变换。

$$ \ frac {\ text {d} ^ nv(t)} {\ text {d} t ^ n} + a_ {n-1} \ frac {\ text {d} ^ {n-1} v(t )} {\ text {d} t ^ {n-1}} + … + a_1 \ frac {\ text {d} v(t)} {\ text {d} t} + a_0v(t)= u (t)$$

让

$$ v(t)= x_1 $$

$$ \ frac {\ text {d} v((t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ dot {x} _1 $$

$$ \ frac {\ text {d} ^ 2v(t)} {\ text {d} t ^ 2} = x_3 = \ dot {x} _2 $$

$$。$$

$$。$$

$$。$$

$$ \ frac {\ text {d} ^ {n-1} v(t)} {\ text {d} t ^ {n-1}} = x_n = \ dot {x} _ {n-1} $ $

$$ \ frac {\ text {d} ^ nv(t)} {\ text {d} t ^ n} = \ dot {x} _n $$

和$ u(t)= u $

然后，状态方程为

$$ \ dot {x} _n = -a_0x_1-a_1x_2 -…- a_ {n-1} x_n + u $$

考虑，

$$ \ frac {Y(s)} {V(s)} = b_ns ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + … + b_1s + b_0 $$

重新排列，上面的等式为

$$ Y(s)=(b_ns ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + … + b_1s + b_0)V(s)$$

在两侧应用逆Laplace变换。

$$ y(t)= b_n \ frac {\ text {d} ^ nv(t)} {\ text {d} t ^ n} + b_ {n-1} \ frac {\ text {d} ^ {n -1} v(t)} {\ text {d} t ^ {n-1}} + … + b_1 \ frac {\ text {d} v(t)} {\ text {d} t} + b_0v(t)$$

通过将状态变量和$ y(t)= y $代入上式，将得到输出方程式，

$$ y = b_n \ dot {x} _n + b_ {n-1} x_n + … + b_1x_2 + b_0x_1 $$

用上式中的$ \ dot {x} _n $值代替。

$$ y = b_n(-a_0x_1-a_1x_2 -…- a_ {n-1} x_n + u)+ b_ {n-1} x_n + … + b_1x_2 + b_0x_1 $$

$$ y =(b_0-b_na_0)x_1 +(b_1-b_na_1)x_2 + … +(b_ {n-1} -b_na_ {n-1})x_n + b_n u $$

状态空间模型是

$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \\\ vdots \\\ dot {x} _ {n-1} \\\ dot {x} _n \ end {bmatrix} $

$$ = \开始{bmatrix} 0＆1＆0＆\ dotso＆0＆0 \\ 0＆0＆1＆\ dotso＆0＆0 \\\ vdots＆\ vdots＆\ vdots＆\ dotso＆\ vdots ＆\ vdots \\ 0＆0＆0＆\ dotso＆0＆1 \\-a_0＆-a_1＆-a_2＆\ dotso＆-a_ {n-2}＆-a_ {n-1} \ end {bmatrix } \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\ b_0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} u \ end {bmatrix} $$

$$ Y = [b_0-b_na_0 \ quad b_1-b_na_1 \ quad … \ quad b_ {n-2} -b_na_ {n-2} \ quad b_ {n-1} -b_na_ {n-1}] \开始{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$

如果$ b_n = 0 $，则，

$$ Y = [b_0 \ quad b_1 \ quad … \ quad b_ {n-2} \ quad b_ {n-1}] \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n- 1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$