门|门CS 2008 |问题 27

这道问题是一个典型的图论问题，需要求出一个给定有向图的最小环。以下是一个简单的介绍，包括图的表示、算法原理以及实现建议。

图的表示

在这个问题中，图是一个有向图，由一组点和一组边组成。假设有 $n$ 个点和 $m$ 条边，可以使用邻接矩阵或邻接表表示图。

邻接矩阵是一个 $n\times n$ 的矩阵，第 $i$ 行第 $j$ 列的元素表示点 $i$ 是否与点 $j$ 相连。对于有向图来说，如果存在一条从点 $i$ 到点 $j$ 的有向边，那么 $(i,j)$ 的取值就是 $1$，否则为 $0$。邻接矩阵的优点是查询两个点之间是否有边非常快，但是空间复杂度较高，需要 $O(n^2)$ 的空间。

邻接表是一种更节省空间的表示方法。对于每个点 $i$，维护一个链表，记录所有从点 $i$ 出发的边。由于每条边只出现了一次，所以邻接表的空间复杂度为 $O(m+n)$。

算法原理

求一个有向图的最小环的算法有很多种，但是在这个问题中，我们需要使用 Floyd 算法进行求解。Floyd 算法的基本思路是利用动态规划思想，通过对所有点对之间的路径进行遍历，不断更新子问题的解，最终求出所有点对之间的最短路径。

具体来说，Floyd 算法的核心是一个三重循环。假设 $d_{i,j}$ 表示点 $i$ 到点 $j$ 的最短路径长度，那么算法的流程如下：

for (k = 1; k <= n; k++) {
    for (i = 1; i <= n; i++) {
        for (j = 1; j <= n; j++) {
            d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
        }
    }
}

其中，$min$ 表示取最小值的函数。

在遍历的过程中，如果发现了一个点 $i$ 到它自身的距离 $d_{i,i}$ 是负数，就说明存在一个负权环。由于负权环可以不断走，所以它没有固定的起点和终点，这就是本题要求的最小环。

实现建议

为了实现 Floyd 算法，需要使用邻接矩阵或邻接表存储图。在实现时，需要注意以下几个问题：

• 在初始化邻接矩阵或邻接表时，需要将不存在的边的权值设置为一个很大的值，比如 $10^9$。
• 在处理 Floyd 算法中的三重循环时，需要小心下标的顺序。具体来说，循环的顺序应该是：$k$ 循环最外层，$i$ 循环次外层，$j$ 循环最里层。
• 在处理负权环的情况时，可以使用一个数组记录路径。具体来说，如果点 $i$ 到点 $j$ 的最短路径包含负权环，那么路径中一定会经过环上的某个点。可以在 Floyd 算法中记录从 $i$ 到 $j$ 最短路径上的下一个点，最后沿着路径遍历就可以求出环了。

完成以上实现之后，就可以求出一个给定图的最小环了。

参考资料

• 算法竞赛进阶指南（第2版）
• Floyd-Warshall Algorithm