从给定的信息中找到 sin2x、cos2x 和 tan2x： cosec(x) = 6，并且 tan(x) < 0

从给定的信息中找到 sin2x、cos2x 和 tan2x： cosec(x) = 6，并且 tan(x) < 0

三角学是直角三角形的角和边之间的关系。在直角三角形中，有3个角，其中一个角是直角（90°），另外两个角是锐角，有3条边。与直角相对的一侧称为斜边。根据它们之间的角度，这些边之间有 6 个比率，它们被称为三角比。

6个三角比是：

• 正弦 (sin)
• 余弦 (cos)
• 切线（棕褐色）
• 割线 (cosec)
• 正割（秒）
• 余切 (cot)

直角三角形 ACB

正弦（sin）：

角的正弦由与角和斜边相反的边的长度之比定义。对于上述三角形，sin A = BC/AB

余弦（cos）：

角的余弦由与角和斜边相邻的边的长度之比定义。对于上述三角形，cos A = AC/AB

切线（tan）：

角的正切定义为与角相对的边与与角相邻的边的长度之比。对于上述三角形，tan A = BC/AC

余割（cosec）：

角的余割由斜边的长度与角对边的比值定义。对于上述三角形， cosec A = AB/BC

割线（秒）：

角的割线由斜边的长度与与角相邻的边和边的比值定义 对于上述三角形，sec A = AB/AC

余切（cot）：

角的余切定义为与角相邻的边与对角的边的长度之比。对于上述三角形，cot A = AC/BC

从给定的信息中找到 sin2x、cos2x 和 tan2x。 csc (x) = 6，tan (x) < 0。

解决方案：

直角三角形 XYZ

It is given that, cosecX = 6

We know that, sinX = 1/cosecX

⇒ sinX = 1/6                                                                ………………..( 1 ) 

⇒ sinX is positive

It is given that, tanX < 0

⇒ tanX is negative

Since, sinX is positive and tanX is negative

⇒ X lies in the 2nd Quadrant.

We know that, cos²X = 1 – sin²X  

⇒ cos²X = 1 – (1/6)²

⇒ cos²X = 35 / 36

⇒ cosX = ± √35 / 6

But, since X lies in the 2nd Quadrant and Cosecant is negative in the 2nd Quadrant,

⇒ cosX = – √35 / 6                                                        ……………….(2)

sin(2X) = 2.sinX.cosX

From (1) and (2),

⇒ sin(2X) = 2.(1/6).(– √35 / 6)

⇒ sin(2X) = – √35/18                                               …………………(3)

cos(2X) = cos²X – sin²X

From (1) and (2),

⇒ cos(2X) = ( – √35 / 6)² – (1 / 6)²

⇒ cos(2X) = 35 / 36 – 1 / 36

⇒ cos(2X) = 34 / 36

⇒ cos(2X) = 17 / 18                                                     …………………( 4 )

tan(2X) = sin(2X) / cos(2X)

From (3) and (4),

⇒ tan(2X) = (– √35 / 18) / (17 / 18)

⇒ tan(2X) = – √35 / 17

Therefore, the values of sin(2X), cos(2X) and tan(2X) are – √35 / 18, 17 / 18 and – √35 / 17 respectively. 

类似问题

问题1：根据给定信息求sin(2X)、cos(2X)和tan(2X)：secX = 8，X在象限IV

解决方案：

It is given that, secX = 8

We know that, cosX = 1 / secX

⇒ cosX = 1 / 8                                                               ………………..( 1 ) 

We know that, sin²X = 1 – cos²X

⇒ sin²X = 1 – ( 1 / 8 )² 

⇒ sin²X = 1 – 1/64

⇒ sin²X = 63 / 64

⇒ sinX = ± √63 / √64

⇒ sinX = ± 3√7 / 8

Since Sine( sin ) is negative in Quadrant IV,

 ⇒ sinX = – 3√7 / 8                                                        ……………….( 2 )

sin( 2X ) = 2.sinX.cosX

From (1 ) and ( 2 ),

⇒ sin( 2X ) = 2.( – 3√7 / 8).(1 / 8)

⇒ sin( 2X ) = – 3√7 / 32                                             ………………..( 3 )

cos( 2X ) = cos²X – sin²X

From (1 ) and ( 2 ),

⇒ cos( 2X ) = (1 / 8)² – (– 3√7 / 8)²

⇒ cos( 2X ) = (1 / 64) – (63 / 64)

⇒ cos( 2X ) = – 62 / 64

⇒ cos( 2X ) = – 31 / 32                                               ………………..( 4 )

tan( 2X ) = sin( 2X ) / cos( 2X )

From (3 ) and ( 4 ),

⇒ tan( 2X ) = (– 3√7 / 32) / ( – 31 / 32)

⇒ tan( 2X ) =  3√7 / 31

Therefore, the values of sin( 2X ), cos( 2X ) and tan( 2X ) are – 3√7 / 32, – 31 / 32 and 3√7 / 31 respectively. 

问题 2：根据给定信息求 sin(2X)、cos(2X) 和 tan(2X)：sinX = 3/5，X 位于第一象限

解决方案：

It is given that, sinX = 3/5                                        ……………….( 1 )

We know that, cos²X = 1 – sin²X  

⇒ cos²X = 1 – ( 3 / 5 )²

⇒ cos²X = 16 / 25

⇒ cosX = ± 4 / 5

Since X lies in the 1st Quadrant and Cosecant is positive in the 1st Quadrant,

⇒ cosX = 4 / 5                                                              ……………….( 2 ) 

sin( 2X ) = 2.sinX.cosX

From (1 ) and ( 2 ),

⇒ sin( 2X ) = 2.( 3/5 ).( 4/5)

⇒ sin( 2X ) = 24 / 25                                            ………………..( 3 )

cos( 2X ) = cos²X – sin²X

From (1 ) and ( 2 ),

⇒ cos( 2X ) = ( 4/5 )² – ( 3/5 )²

⇒ cos( 2X ) = 16/25 – 9/25

⇒ cos( 2X ) = 7/25                                             …………………..( 4 )

tan( 2X ) = sin( 2X ) / cos(2X)

From (3 ) and ( 4 ),

⇒ tan( 2X ) = ( 24/25 ) / (7/25)

⇒ tan( 2X ) =  24/7

Therefore, the values of sin(2X), cos(2X) and tan(2X) are 24 / 25, 7/25 and 24/7 respectively. 

问题 3：根据给定信息求 sin(2X),cos(2X) 和 tan(2X)：cosX = 15/17, X 位于象限 IV

解决方案：

It is given that, cosX = 15/17                                        ……………….(1)

We know that, sin²X = 1 – cos²X  

⇒ sin²X = 1 – ( 15/17 )²

⇒ sin²X = 1 – 225 / 289

⇒ sin²X = 64 / 289

⇒ sinX = ± 8 / 17

Since X lies in the 1st Quadrant and Sine( sin ) is positive in the 4th Quadrant,

⇒ sinX = – 8/17                                                             ……………….(2) 

sin( 2X ) = 2.sinX.cosX

From (1) and (2),

⇒ sin( 2X ) = 2.( – 8/17 ).(15/17)

⇒ sin(2X) = – 240/289                                            ………………..( 3 )

cos(2X) = cos²X – sin²X

From (1) and (2),

⇒ cos(2X) = (15/17)² – (– 8/17)²

⇒ cos(2X) = 225/289 – 64/289

⇒ cos(2X) = 161/289                                            …………………..( 4 )

tan(2X) = sin(2X) / cos(2X)

From (3) and (4),

⇒ tan(2X) = (– 240/289) / (161/289)

⇒ tan(2X) = – 240/289

Therefore, the values of sin(2X), cos(2X) and tan(2X) are – 240/289, 161/289 and – 240/289 respectively.