概率分布函数

概率分布指示如何在意外变量的不同值上分配概率。概率分布具有各种属性，例如可以计算的预测值和方差。即使意外变量的所有值都在图表上对齐，概率值也会产生一个形状。

在概率分布中，意外变量的结果始终是不确定的。它被称为将样本区域映射到实数区域的过程，该区域称为状态区域。然而，这里的结果观察被称为实现。

概率分布函数公式

概率分布函数对概率密度函数至关重要。这个函数非常有用，因为它可以告知我们在给定的中场休息中出现外遇的可能性

P(ab_a f(x)dx =  $\int_a^b$(1/σ√2π)e^{[-(x – μ)²/2σ²]}dx

Where

P(a

x is the random variable. 

μ is the mean value

σ is the standard deviation

两种概率分布的公式是：

正态概率分布公式

它也被理解为高斯扩散，它指向钟形的方程或图形。标准概率分布的公式表示为：

P(x) = (1/√2πσ²)e^{−(x − μ)²/2σ²}

Where,

μ = Mean

σ = Standard Distribution.

x = Normal random variable.

Note: If mean(μ) = 0 and standard deviation(σ) = 1, then this distribution is described to be normal distribution.

二项式概率分布公式

它被定义为当事件由“n”次重复试验组成并且每次试验的结果可能发生也可能不发生时发生的概率。二项式概率的公式如下：

p(r out of n) = n!/r!(n − r)! × p^r(1 − p)^{n – r} = ⁿC_r × p^r(1 − p)^n−r

Where,

n = Total number of events

r = Total number of successful events

p = Probability of success on a single trial

ⁿC_r =  n!/r!(n – r)!

1 – p = Probability of failure

不同类型的概率分布

从现在开始，我们已经了解了概率分布的含义，因为现在我们将看到不同类型的概率分布。一种机会分布是由一种不可预测的变量定义的。概率分布有两种类型。

1. 离散变量的离散概率分配
2. 连续变量的概率厚度角色。

离散概率分布

离散分布是一种似然分布，它显示离散（单独可数）结果的发生情况，例如 1、2、3……或零与一。例如，二项分布是一个离散分布，它估计在给定次数的尝试中发生“是”或“否”结果的概率，给定每次尝试中的事件概率，例如抛硬币 200 次，然后持有结果是“尾巴”。

离散概率分配依赖于包括可数或定界结果的事件。这与恒定分配不同，结果可能会在连续统一体的任何地方下降。离散分配的常见实例包括二项式分配、泊松分配和伯努利分配。这些分配通常涉及“计算”或“发生多少次”事件的统计研究。在金融领域，离散分配用于选择定价和预测市场意外或暴跌。

伯努利试验和二项分布

伯努利试验是事件发生的概率为 p 而事件未发生的概率为 1-p 的试验；即，这件事有两个可能的结果（通常被认为是赢或输），分别以概率 p 和 1-p 发生。伯努利试验是伯努利事件的实例化。只要获胜或失败的概率与尝试的尝试保持精确（即，每次尝试都与其他尝试分开），一系列伯努利试验就称为伯努利过程。在可以实现的其他发现中，这表明对于 n 次尝试，n 次获胜的概率是 p ⁿ 。

伯努利分布定义了单个伯努利试验的输赢。二项分布描述了在 n 次自主伯努利试验中，对于某些给定的 n 值，获胜和失败的数量。例如，如果一个制造的物品有缺陷的概率为 p，那么二项式分布描述了一堆 n 个对象中的赢和输的数字。准确地说，从该分配中进行的选择给出了代表性批次中缺陷对象的总数。另一个例子是投掷硬币 n 次获得的反面数。

二项分布

这是一个意想不到的变量，它描述了伯努利调查的“N”次连续解放试验中的获胜次数。它被用在大量的插图中，比如包含“N”个硬币翻转中正面的数量等等。

如果 Y 是二项式随机变量，我们表示这个 Y∼ Bin(n, p)，其中 p 是在给定试验中获胜的机会，q 是失败的可能性，设“n”是试验的总数'x' 是获胜次数。二项式随机变量具有以下属性：

P(Y) = ⁿC_x q^{n – x}p^x

现在概率函数P(Y) 被称为二项分布的概率函数。

解决的问题

问题 1：假设我们掷两个骰子。制作一个骰子总和的概率表。可能性有：2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12。

解决方案：

Probability Distribution Table

问题 2：居住在随机选择的城市街区的房屋中的老年人数量由以下概率分布描述。

X	P(x)
2	1/36
3	2/36
4	3/36
5	4/36
6	5/36
7	6/36
8	5/36
9	4/36
10	3/36
11	2/36
12	1/36

随机选择的房子里住 6 个或更多老人的概率是多少？

解决方案：-

The sum of all the p(probability) is equal to 1.

Thus, the probability that six or more old peoples live in a house is equal to

= 1 – (0.50 + 0.25 + 0.10) or 0.15.

问题 3：我们从一副洗好的 52 张牌中依次抽出两张牌。找出看到 A 的概率分配。

解决方案：

Let’s define a random variable “X”, which means a number of aces. So since we are only drawing two cards from the deck, X can only take three values: 0, 1, and 2.  We also know that we are drawing cards with a replacement which means that the two draws can be considered independent experiments.  

P(X = 0) = P(both cards are non-aces

= P(non-ace) × P(non-ace)  

= $\frac{48}{52} \times \frac{48}{52}$ 

= $\frac {144}{169}$

P(X = 1) = P(one of the cards in ace)  

= P(non-ace and then ace) + P(ace and then non-ace)

= P(non-ace) × P(ace) + P(ace) × P(non-ace)

= $\frac{48}{52} \times \frac{4}{52} + \frac{4}{52} \times \frac{48}{52}$ 

= $\frac{24}{169}$

P(X = 2) = P(Both the cards are aces 

= P(ace) × P(ace)

= $\frac{4}{52} \times \frac{4}{52}$

= $\frac{1}{169}$

问题 4：当一枚公平的硬币被抛 8 次时，概率为：

• 正好四个头
• 至少四个头

回答：

Every coin tossed can be considered as the Bernoulli trial. Suppose X be the number of heads in this experiment:

n = 8

p = 1/2

So, P(X = x) = ⁿC_x p^{n – x} (1 – p)^x, x =  0, 1, 2, 3,…n

P(X = x) = ⁸C_xp^{8 – x}(1 – p)^x

When x = 4,

• P(x = 4) = ⁸C₄ p⁴ (1 – p)⁴

= 8!/4!4!(1/2)⁴(1/2)⁴

= (8 × 7 × 6 × 5/2 × 3 × 4) × (1/16) × (1/16)

= 420/1536  

• P(at least 4 heads) = P(X >= 4) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)+ P(X = 7) + P(X = 8).

= ⁸C₄ p⁴ (1 – p)⁴ + ⁸C₅ p³ (1 – p)⁵ + ⁸C₆ p² (1 – p)⁶ + ⁸C₇ p¹(1 – p)⁷ + ⁸C₈(1 – p)⁸

= 8!/4!4!(1/2)⁸ + 8!/5!3!(1/2)⁸ + 8!/6!2!(1/2)⁸ + 8!/7!1!(1/2)⁸ + 8!/8!(1/2)⁸

= 8 × 7 × 6 × 5/4 × 3 × 2 × 256 + 8 × 7 × 6/3 × 2 × 256 + 8/256 + 1/256

= 1680/6144 + 336/1536 + 9/256

= 70/256 +  56/256 + 9/256

= 135/256

问题5：一个罐子里有6个红球和9个黑球。我们连续从罐子里抽出六个球。当每次抽球后，你必须揭示拉球的试验是否是伯努利试验，抽出的球是：

• 更换
• 没有更换在罐子里。

回答：

It is understood that the number of trials is limited. When pulling is accomplished with replacement, the likelihood of win(say, red ball) is p = 6/15 which will be the same for all of the six trials. So, pulling off balls with replacements is Bernoulli’s trial.

If pulling is done without replacement, the likelihood of win(i.e., red ball) in the first trial is 6/15, in 2nd trial is 5/14 if the first ball drawn is red or, 9/15, if the first ball drawn, is black, and so on. Undoubtedly, the possibilities of winning are not the same for all the trials, Thus, the trials are not Bernoulli trials.

问题 6：如果抛硬币 12 次，计算得到 10 个正面的概率。

解决方案：

Given,

Number of trials(n) = 12

Number of success(r) = 10(getting 10 heads)

Probability of single head(p) = 1/2 = 0.5

To find ⁿC_r =  n!/r!(n – r)!

=  12!/10!(12 – 10)!

=  12 × 11 × 10!/10!2!

= 66

To find p^r = 0.5¹⁰ = 0.00097665625

So, the probability of getting 10 heads is:

P(x) = ⁿC_r p^r (1 – p)^{n – r} = 66 × 0.00097665625 × (1 – 0.5)^(12-10) = 0.0644593125 × 0.5² = 0.016114828125

The probability of getting 10 heads = 0.0161…

问题 7：假设每次你罚球，你有 35% 的机会命中。如果你投了 25 次，那么恰好投中 15 次的概率是多少？

解决方案：

Given,

n = 25, r = 15, p = 0.35, q = 0.65

Compute

C_25,15 0.35¹⁵ 0.65¹⁰ = 0.165

There is a 16.5% chance of making exactly 15 shots.

问题 8：房间里共有 5 个人，房间里有人与至少其他人分享他/她的生日的可能性有多大？

解决方案：

P(s) = p(at least someone shares with someone else)                        

P(d) = p(no one share their birthday everyone has a different birthday)

p(s) + p(d) = 1 or 100%

p(s) =100% – p(d)

There are 5 people in the room, the possibility that no one shares his/her birthday

= 365 × 364 × 363 × … × 336 ⁄ 365⁵ = (365! ⁄ (365 – 5)!) ⁄ 365⁵

= (365! ⁄ 360!) ⁄ 365⁵ = 0.9728

p(d) = 0,9728 or 97.28%

p(s) = 100% – p(d)

= 100% – 97.28% or 1 – 0.9728

= 2.72%  ≈ 0.0272