N皇后问题

N-Queens问题是将n-Queens放置在nxn棋盘上的方式，使得没有Queens可以通过在同一行，同一列或对角线上相互攻击。

可以看出，对于n = 1，该问题具有微不足道的解决方案，对于n = 2和n = 3，不存在任何解决方案。因此，首先我们将考虑4个皇后问题，然后将其生成为n个皇后问题。

给定一个4 x 4的棋盘，并为棋盘的行和列编号1至4。

既然如此，我们必须_{在棋盘上放置q 1} q ₂ q ₃和q ₄等4个皇后，这样就不会有两个皇后互相攻击。在这种条件下，每个皇后必须放置在不同的行上，即，将皇后“ i”放在行“ i”上。

现在，我们将皇后q ₁放在第一个可接受的位置(1，1)。接下来，我们放置皇后q _2，以使这两个皇后不会互相攻击。我们发现，如果将q ₂放在第1列和第2列中，则会遇到死角。_{因此，第3列中q 2}的第一个可接受位置，即(2，3)，但没有剩余位置可_{安全放置女王'q 3} '。因此，我们回退了一步，并将(q， ₂ )皇后号放在下一个最佳解决方案(2，4)中。然后我们获得放置“ q ₃ ”的位置，即(3，2)。但是后来这个位置也会导致死胡同，并且找不到_{可以安全放置“ q 4} ”的位置。然后我们必须回溯到'q ₁ '并将其放置到(1，2)，然后通过将q ₂移至(2，4)，q ₃移至(3，1)和q ₄移至其他位置来安全放置所有皇后(4、3)。也就是说，我们得到了解(2，4，1，3)。这是4皇后问题的一种可能解决方案。对于另一个可能的解决方案，对所有部分解决方案重复整个方法。解决4-皇后问题的其他方法是(3，1，4，2)，即

解决方案(2、4、1、3)的4-Queen问题的隐式树如下：

图显示了4-Queens问题的完整状态空间。但是我们可以使用回溯方法来生成必要的节点，并在下一个节点违反规则时(例如，两个皇后在进攻)停止。

4-Queens解决方案空间，其节点在DFS中编号

可以看出，所有4个皇后问题的解都可以表示为4个元组(x ₁ ，x ₂ ，x ₃ ，x ₄ )，其中x _i表示放置_{“ q i} ”皇后的列。

图中显示了8个皇后问题的一种可能解决方案：

Thus, the solution for 8 -queen problem for (4, 6, 8, 2, 7, 1, 3, 5).
If two queens are placed at position (i, j) and (k, l).
Then they are on same diagonal only if (i - j) = k - l or i + j = k + l.
The first equation implies that j - l = i - k.
The second equation implies that j - l = k - i.
Therefore, two queens lie on the duplicate diagonal if and only if |j-l|=|i-k|

Place(k，i)返回一个布尔值，如果可以在第i列中放置第k个皇后，则该值为true。它既测试i是否与所有先前成本x ₁ ，x ₂ ，…. x _k-1都不同，又在同一对角线上是否没有其他皇后。

通过使用位置，我们为n-皇后问题提供了精确的解决方案。

Place (k, i)
   {
     For j  ←  1 to k - 1
      do if (x [j] = i)
       or (Abs x [j]) - i) = (Abs (j - k))
    then return false;
     return true;
}

如果可以在第k行和第ith列中放置一个女王，则place(k，i)返回true，否则return为false。

x []是已设置最终k-1个值的全局数组。 Abs(r)返回r的绝对值。

N - Queens (k, n)
{
   For i  ←  1 to n
        do if Place (k, i) then
   {
      x [k]  ←  i;
      if (k ==n) then
        write (x [1....n));
      else
      N - Queens (k + 1, n);
   }
}