门| GATE-CS-2007 |问题 1

本题是以GATE计算机科学考试2007年为背景的一道题目，主要考察程序员的算法设计能力和实现能力。

题目描述

现有两个排序好的整数数组a和b，长度分别为m和n。给定一个整数k，设计一个算法，从这两个数组中找到第k大的元素。

思路分析

首先，我们需要了解如何找到单个数组的中位数。假设有一个排序好的整数数组a，长度为n。中位数可以通过以下方式获得：

• 如果n是奇数，则中位数为a[(n-1)/2]。
• 如果n是偶数，则中位数为(a[n/2-1]+a[n/2])/2。

我们可以通过这种方式分别获取两个排序好的整数数组a和b的中位数ma和mb。然后，根据ma和mb的大小关系可以得出以下结论：

• 如果ma=mb，则ma或mb就是这两个数组的全局中位数。
• 如果ma<mb，则来自a数组的第一个元素到a[(n-1)/2]与来自b数组的mb到b[n/2]中的所有元素都不可能成为这两个数组的第k大元素。那么，我们可以递归地查找来自a[(n-1)/2+1]到an和b1到b[n/2]中的元素。
• 如果ma>mb，则来自b数组的第一个元素到b[(n-1)/2]与来自a数组的ma到a[n/2]中的所有元素都不可能成为这两个数组的第k大元素。那么，我们可以递归地查找来自b[(n-1)/2+1]到bn和a1到a[n/2]中的元素。

由于每次我们都可以将数组的长度缩小到不到原来的一半，因此，我们可以在O(log(m+n))的时间复杂度内找到第k大的元素。

下面是一份Python代码实现：

def findKth(a, b, k):
    m, n = len(a), len(b)
    if m > n:
        return findKth(b, a, k)
    if not a:
        return b[k-1]
    if k == 1:
        return min(a[0], b[0])
    pa, pb = min(k//2, m), min(k//2, n)
    if a[pa-1] < b[pb-1]:
        return findKth(a[pa:], b, k-pa)
    else:
        return findKth(a, b[pb:], k-pb)

总结

本题考察了程序员的算法设计能力和实现能力。通过运用分治思想和中位数的性质，我们可以快速地找到两个排序好的整数数组中的第k大元素。实现时，需要考虑到递归边界条件以及分情况讨论，代码实现起来需要一定的技巧。