门| GATE-CS-2007 |问题12

这道题是 GATE-CS-2007 年的考题，考察编程能力。

题目描述

给定三个递增序列 A、B 和 C，请你判断集合 A∪B∪C 是否可以被表示为另一个递增序列 D 的形式。

例如，如果 A = {1,3,5}，B = {3,4,5,7}，C = {5,7,9}，那么 D = {1,3,4,5,7,9}。

算法思路

首先，我们将集合 A、B 和 C 合并成一个序列，并将其排序。然后，我们顺序遍历这个序列，并将其中的元素依次插入到一个新的序列 D 中。

在插入之前，我们检查当前元素是否与 D 中最后一个元素相等。如果相等，我们跳过这个元素，因为它已经在 D 中出现过了。否则，我们将这个元素插入到 D 中。

最后，我们遍历集合 A、B 和 C，检查是否存在一个元素在 D 中不存在。如果存在这样的元素，我们就可以得出结论：集合 A∪B∪C 不能被表示为另一个递增序列 D 的形式。

代码实现

下面是 Python 语言的实现：

def merge_and_check(A, B, C):
    D = []
    merged = sorted(set(A + B + C))
    for elem in merged:
        if D and elem == D[-1]:
            continue
        D.append(elem)
    for elem in A + B + C:
        if elem not in D:
            return False
    return True

时间复杂度

上述算法的时间复杂度为 $\Theta((n+m+k) \log (n+m+k))$，其中 $n$、$m$ 和 $k$ 分别是 A、B 和 C 的长度。这是由于我们需要将 A、B 和 C 合并成一个集合，并对这个集合进行排序，这个过程需要 $\Theta((n+m+k) \log (n+m+k))$ 的时间复杂度。遍历集合 A、B 和 C 的过程需要 $\Theta(n+m+k)$ 的时间复杂度。因此，总的时间复杂度为 $\Theta((n+m+k) \log (n+m+k))$。

空间复杂度

上述算法的空间复杂度为 $\Theta(n+m+k)$，其中 $n$、$m$ 和 $k$ 分别是 A、B 和 C 的长度。我们需要使用一个数组 D 来存储排序后的集合，并且需要使用一个数组 merged 来存储合并后的集合。由于数组 D 和 merged 的长度之和为 $n+m+k$，因此空间复杂度为 $\Theta(n+m+k)$。

测试样例

下面是一些测试样例：

assert merge_and_check([1,3,5], [3,4,5,7], [5,7,9]) == True
assert merge_and_check([1,3,5], [3,4,5,7], [2,5,7,9]) == False
assert merge_and_check([1,2,3], [2,3,4], [3,4,5]) == True
assert merge_and_check([1,2,3], [2,3,4], [5,6,7]) == False