门| GATE-CS-2007 |问题 7

这道问题涉及到离散数学中的关系和二元关系，特别是包含关系和等价关系，以及相应的性质和定理。

题目描述

给定两个集合S1和S2，以及它们之间的一个关系R，其中R是从S1到S2的一个映射，即R是S1和S2的笛卡尔积到集合{0,1}的一个映射。我们定义一个集合T={x∈S1 | 对于每个y∈S2，(x,y)∈R}，即T是S1中所有与S2中每个元素都有关系的元素构成的集合。证明T的补集，即S1-T的补集，也就是所有不与S2中某个元素有关系的S1中的元素构成的集合，是S1和S2之间的一个关系的等价类。

解题思路

我们可以先尝试理解一下题目所描述的关系R和集合T的意义。从S1到S2的关系可以看作一个有向图，其中S1和S2之间的边表示关系R。而集合T则包含着这个有向图中所有连向S2中任意一个点的S1中的点。因此，集合T是这个有向图中所有入度为S2大小的节点的祖先集合。

对于一个有向图，如果一个节点的出度为0，那么我们称它是一个“源节点”（source node）。而对于一个节点u，我们可以定义它的直接祖先集合为所有入边以u为终点的节点的集合，即{v | (v,u)∈R}。同理，我们可以定义直接子孙集合。

下面我们来证明题目所述的结论。具体来说，我们需要证明以下两个命题：

1. S1-T的补集是S1中所有满足以下条件的点的集合：
   • 它的直接祖先都在S1-T中；或者
   • 它本身就在S2中。
2. 对于任何在S1-T中的点u，存在一个在S1-T中、与u在同一等价类的点v，使得v是u的直接祖先。

命题一的证明

我们先考虑该命题的第一个部分。

设x∈S1且x∉T。那么存在y∈S2，使得(x,y)不在R中，即x与y不存在直接关系。

• 如果y∈T，则说明存在z∈S1，使得(z,y)∈R，且z是x的直接祖先。那么根据x∈S1-T，我们知道z∈S1-T，因此满足第一类条件。
• 如果y∉T，则说明S1-T中不存在与y有关系的点，因此根据上文的定义，y必然在S2中。而根据x与y不存在直接关系，因此x也不在S2中。因此满足第二类条件。

接下来我们考虑该命题的另一部分。

设x∈S1中所有满足上述条件的点的集合。我们需要证明x∈S1-T的补集。

• 如果x不在S1-T的补集中，那么我们可以将x分为两类：一类是其直接祖先在S1-T中的点，另一类是其直接祖先在S2中或不在S1-T的补集中的点。
• 对于第一类点，根据前文定义，它们的入度都在S2中。因此，如果我们能够证明S1中每个入度都对应着至少一个入度点在S1-T中，那么就能证明T是S1和S2之间的一个关系的等价类了。这也就是命题二的内容。
• 对于第二类点，根据定义，它们自身就在S2中，因此也满足等价关系的传递性、自反性和对称性。

命题二的证明

设x∈S1-T。那么根据定义，它的直接祖先都在T中，即它们的入度都在S2中。

我们需要证明，对于每个入度大于等于1的点v∈S2，都存在一个w∈S1-T，使得w是一个v的直接祖先。根据定义，这也就等价于证明：对于每个入度大于等于1的点v∈S2，都存在一个w∈S1-T，使得w直接连向v。

我们可以采用归纳法来证明。对于入度为1的点v，它的直接祖先集合只有一个，设为u。因此，如果u在S1-T中，那么w=u就是v的直接祖先，满足条件。否则，根据上文的命题一，u必然在S2中。而根据v的入度为1，u也必然是v的直接祖先。因此，我们只需要证明u也有入度大于等于2的子孙满足条件即可。

假设对于所有的入度小于k的点v∈S2，均满足上述条件。考虑入度为k的点v，它的直接祖先集合为{u1,u2,...,uk}。如果其中存在一个直接祖先ui在S1-T中，那么w=ui就是v的直接祖先，满足条件。

否则，所有的直接祖先都在S2中。设其子孙集合为{w1,w2,...,wm}。根据归纳假设，对于每个入度小于k的点，都存在一个直接祖先满足条件。因此，对于每个wj，都存在一个ui∈{u1,u2,...,uk}使得ui是wj的直接祖先，并且ui有入度大于等于2的子孙满足条件。为了方便表述，我们记wi的入度大于等于2的子孙集合为{si1,si2,...,sik}。

下面我们考虑如何构造一个合适的直接祖先ui，使得它满足条件。我们可以考虑每一个子孙sij，并找到一个直接祖先uij满足uij=sij或uij是sij的直接祖先，且uij在{u1,u2,...,uk}中。然后令ui等于所有满足条件的uij的交集。

根据构造方式，我们可以证明ui是直接祖先集合{u1,u2,...,uk}的交集。因此，ui的入度必然大于等于k，否则无法覆盖所有入度为k的点。又因为每个子孙sij的入度均大于等于2，因此ui的入度必须大于等于2，否则无法找到满足条件的uij。因此，ui满足条件，是一个直接祖先，且它们的交集也符合条件。

综上所述，命题二得证。

结论

根据以上证明，我们可以得出结论：S1-T的补集，即所有不与S2中某个元素有关系的S1中的元素构成的集合，是S1和S2之间的一个关系的等价类。