算法测验| SP2竞赛1 |问题24

简介

这是一道在SP2竞赛中出现过的算法题，需要运用计算几何的知识进行解题。

具体而言，题目要求我们判断给定的两个点集是否在平面上有交集，并给出交集的面积。对于几何图形的计算，我们可以通过计算几何的各种算法来实现，比如扫描线算法、半平面交算法、三角剖分算法等等。而在这道题目中，我们可以利用矩形切割及扫描线算法来实现。

程序实现

下面给出一份python3语言的程序实现，并进行详细解析。代码如下：

class Solution:
    def rectangleArea(self, rectangles: List[List[int]]) -> int:
        # 扫描线基于y轴进行扫描
        OPEN, CLOSE = 0, 1
        events = []
        for x1, y1, x2, y2 in rectangles:
            events.append((y1, OPEN, x1, x2))
            events.append((y2, CLOSE, x1, x2))
        events.sort()

        # 扫描线从下往上扫描，记录当前y轴的长度和已扫描面积并
        active = []
        length = prev_y = ans = 0
        for y, typ, x1, x2 in events:
            # 更新当前长度和面积
            length = self.update(active)
            ans += length * (y - prev_y)

            # 对当前活跃面积进行更新
            if typ == OPEN:
                active.append((x1, x2))
                active.sort()
            else:
                active.remove((x1, x2))

            prev_y = y

        # 返回统计的面积
        return ans % (10 ** 9 + 7)

    def update(self, active: List[Tuple[int, int]]) -> int:
        ans = cur = 0
        right = float('-inf')
        for x1, x2 in active:
            cur += max(0, x1 - right)
            ans += cur
            right = max(right, x2)
        return ans

算法原理

这道题目需要使用矩形切割和扫描线算法，下面分别介绍一下。

矩形切割

矩形切割可以将一个矩形划分出多个小矩形，在计算面积时只需要对每个小矩形的面积求和即可。在本题中，我们可以将给定的矩形集合按照每个矩形的左下、右上角坐标分别进行排序，再分别计算每个横向区间内的面积，并加以累加得到总面积。这里给出计算某个横向区间内的面积的示意图：

  +---+-----+-----------+
  |   |  1  |     3     |
  +---+-----+-----------+
  |   |  2  |     4     |
  +---+-----+-----------+
     a  b  c  d  e  f

如上图所示，1~4为给定的矩形集合中的矩形，a~f为当前扫描线段的横向区间。在计算当前横向区间内的面积时，我们需要将与区间相交的矩形按照垂直方向拆分，如图所示，将1拆分为1a~1b两个矩形。然后，对拆分出的所有小矩形进行求面积，并按照顺序加以累加即可得到当前横向区间内的面积。

扫描线

扫描线算法主要用于解决能够通过垂直扫描线进行求解的题目，如计算线段重叠、计算矩形面积并等等。在本题中，我们需要通过扫描线算法计算两个点集的交集面积。

具体而言，我们可以对所有的左右顶点按照其纵坐标进行排序，然后按顺序遍历每个顶点，记录当前有效的矩形集合。在遍历过程中，当前有效的矩形集合即为两个点集的交集，而每次遍历所经过的纵向距离则是当前有效集合的高度，从而可以计算出对应的面积。此外，我们还需要在遍历过程中动态地维护当前有效的矩形集合。

代码解析

算法实现

代码第2~5行，我们首先定义了扫描线中的“打开事件”（OPEN）和“关闭事件”（CLOSE）。当计算扫描线在当前节点上的矩形集合时，我们需要先按照矩形的坐标插入其中，并按照纵坐标进行排序。具体而言，我们需要对每个矩形的顶点进行排序，并将其对应的OPEN和CLOSE事件按顺序插入事件集合中。

代码第7~21行，则是具体的扫描操作实现。我们首先初始化当前扫描线的长度为0，前一个节点的纵坐标为0，初始面积为0。然后，按照事件集合的顺序遍历每个事件，并动态更新当前扫描线所表示的活跃矩形集合，计算每个扫描线段对应的面积并，并按照纵坐标高度加以累加。代码中的active数组记录了当前活跃的矩形集合，按照左右顶点的x坐标升序排列。在遍历事件集合时，如果遍历到的事件是OPEN事件，我们则将其对应的矩形添加到active数组中。而当遍历到CLOSE事件时，我们则需要将其对应的矩形从active数组中移除。需要注意的是，当存在多个矩形的左边界坐标相同的时候，我们需要按照右边界坐标排序处理这些矩形，以便进行扫描计算。

代码第23~30行，是记录当前的活跃矩形集合的过程（即上述算法的update函数）。算法实现过程中，我们采用类似铅垂法（求6边形面积）的方式进行计算，当前扫描线段覆盖到的面积等于当前扫描线段的长度乘以当前活跃矩形集合的高度。其中，长度的计算需要另外一个参数right，表示当前活跃矩形集合中最靠右边的矩形的右侧坐标。

算法复杂度

这个算法的最坏时间复杂度为 $O(n^2)$，其中 n 是矩形数量。具体而言，算法的时间复杂度主要由两个部分构成：排序和扫描线操作。其中，排序的时间复杂度是 $O(n \log n)$，扫描线操作耗时主要取决于当前活跃矩形的数量，平均时间复杂度为 $O(n)$，最坏复杂度为 $O(n^2)$。总时间复杂度因此为 $O(n^2)$。

总结

本题主要考察了计算几何及扫描线算法的实现。在实现过程中，我们需要理解题目要求，掌握计算几何的矩形切割及扫描线算法，灵活运用python的列表进行矩阵计算，同时要注意细节处理。