算法测验 | SP2竞赛1 | 问题10

这是一道关于矩阵的问题，需要用到一些基础的矩阵运算以及递归的思想。

问题描述

给出一个正整数 $n$，构造一个 $2^n×2^n$ 的矩阵，矩阵里的元素按如下方式生成：

对于整数 $i$ 和 $j$，如果 $i&j=0$，则 $A_{i,j}=1$，否则 $A_{i,j}=0$。

其中符号 $&$ 表示按位与运算。

请你输出这个矩阵。

思路分析

根据题目描述，我们要求出 $2^n×2^n$ 的矩阵 $A$，其中 $A_{i,j}=1$ 当且仅当 $i&j=0$，否则 $A_{i,j}=0$。

首先我们可以先考虑一个简单的问题，假设 $n=1$，那么我们需要求出 $2×2$ 的矩阵 $A$，其中 $A_{i,j}=1$ 当且仅当 $i&j=0$，否则 $A_{i,j}=0$。

我们可以手动列出该矩阵：

$$ \begin{bmatrix}1&1\1&0\end{bmatrix} $$

我们发现该矩阵有一个比较规律的特点，就是对角线上的元素都为 $1$，其余元素都为 $0$。

对于 $n>1$，我们可以考虑将 $2^n×2^n$ 的矩阵拆分成四个 $\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$ 的矩阵，然后递归地求解这四个矩阵。

相应的，我们可以将矩阵 $A$ 分为四个矩阵 $A_{1,1}$、$A_{1,2}$、$A_{2,1}$ 和 $A_{2,2}$，其中 $A_{1,1}$ 的大小为 $\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$。那么 $A_{1,1}=f(n-1)$，$A_{1,2}=A_{2,1}=0$，$A_{2,2}=I_{\frac{1}{2}×\frac{1}{2}}$（其中 $I$ 表示单位矩阵）。

最后，我们将这四个矩阵按照一定的规律拼接起来，就得到了 $A$ 矩阵。

代码实现

代码实现比较简单，主要是递归实现拆分矩阵和拼接矩阵的过程。

def generate_matrix(n):
    if n == 1:
        return [[1, 1], [1, 0]]

    a = generate_matrix(n - 1)
    b = [[0] * (1 << (n - 1)) for _ in range(1 << (n - 1))]
    c = [[0] * (1 << (n - 1)) for _ in range(1 << (n - 1))]
    d = [[1 if i == j else 0 for j in range(1 << (n - 1))] for i in range(1 << (n - 1))]

    return a + b, a + c, c + a, d + c

def format_matrix(matrix):
    return '\n'.join([' '.join(map(str, row)) for row in matrix])

n = int(input())
matrix = generate_matrix(n)
result = []
for row in matrix:
    result.append([e for sub in row for e in sub])
print(format_matrix(result))

代码中的 generate_matrix 函数用于递归地生成矩阵，其中参数 $n$ 表示要生成的矩阵的大小。

format_matrix 函数用于将矩阵格式化成字符串的形式，方便输出。

最后，我们将递归生成的所有矩阵拼接起来，并将其转换成字符串形式输出即可。