GATE-CS-2016(Set 2) 第63道题

这道题是GATE-CS-2016(Set 2)中的第63道。它是一道典型的算法题，主要考察的是动态编程和贪心算法。题目要求：

给出一个数字的序列和一个目标数，找出数组中的一些数使它们的和正好等于目标数。你可以在序列中选择多个数字，在这里，你不需要考虑数字的顺序。例如，对于序列[1，3，5，7]和目标为8，找出数字1和7的索引是（0,3）；找到数字3和5索引是（1,2）。

解题思路

动态编程

动态编程是一个常用的算法来解决求解最优解问题。来看一下这道题： 求和问题中的动态编程算法是非常直观的 -

我们定义一个 dp 数组，并初始化为 False。然后将 dp[0] 初始化为 True，因为总和为 0 元素总是存在的。

现在，我们遍历整个数组并更新 dp 数组。对于每个数字 arr[i]，我们设置 dp[j] = True 对于任何可行的 j，该数字之前的子数组和为 j（包括 j）。

例如，假设我们正在处理 arr[2]，并且之前已经有一个 dp 数组，如下所示：

dp[] = [0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]

在处理 arr[2] 之后，dp 数组会变成 -

dp[] = [0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]

我们注意到，对于 j=0 到 j=arr[i]，除了 dp[0]，所有的 dp[j] 元素都会被更新为 True。 这是因为对于任何 j>arr[i]，只需添加 arr[i] 才能获得一个新的总和，而我们已经考虑了之前的元素。

我们需要做的就是迭代整个 dp 数组并返回 dp[target]。

贪心算法

假设我们有一个包含正整数的数组和一个目标数 target。

我们需要找到一个连续的子数组，其中元素的总和为 target 或者最接近 target，并返回这个和。

例如，假设输入数组为 [1, 2, 3, 4, 5]，目标和为 7，那么选择子数组 [2, 3, 4]，其和为 9`，最接近目标和。

贪心算法的基本思想是保持一个滑动窗口，在窗口中一直增加数字，直到总和超过 target。然后我们从窗口左侧移除数字，直到总和小于 target 为止。如果当前和等于目标和，则我们找到了一个解，返回这个和。否则，我们继续滑动窗口直到找到和最接近目标和的子数组。

代码实现

动态编程

def subsetsum(nums, target):
    n = len(nums)
    dp = [[False] * (target+1) for i in range(n+1)]

    for i in range(n+1):
        dp[i][0] = True

    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, target+1):
            if j < nums[i-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            else:
                dp[i][j] = dp[i-1][j] or dp[i-1][j-nums[i-1]]

    return dp[n][target]

贪心算法

def get_gap_sum(nums, target):
    left = right = cur_sum = 0
    gap = float("inf")
    sub_arr_sum = None
    
    while right < len(nums):
        cur_sum += nums[right]
        while left <= right and cur_sum > target:
            cur_sum -= nums[left]
            left += 1

        if abs(target - cur_sum) < gap:
            gap = abs(target - cur_sum)
            sub_arr_sum = cur_sum

        right += 1

    return sub_arr_sum

总结

动态编程和贪心算法是常用的求解优化问题的算法。对于不同的问题，我们可以选择不同的算法来解决。在本例中，动态编程算法可以找出是否存在一个子集和与目标相等，但是它不会找到最接近目标和的子集和。贪心算法能够快速找到与目标和最接近的子集和，但它并不能保证一定是最优的。