幂律的应用

函数函数成一个更小、更简单的版本。任何函数的导数都是相对于其中存在的变量对其进行微分，简而言之，导数是任何函数相对于其中存在的变量的变化率。例如，当汽车开得太快时，警察会采取行动，但他们怎么知道超过了限速呢？什么是速度？速度只不过是距离对时间的导数，如果汽车太快，它在单位时间内行驶的距离越远，因此速度越快。

这是衍生品如何运作的最基本示例。函数可能非常复杂，因此为它们定义了一些规则，其中一个规则是幂规则，让我们更详细地研究它。

权力法则

顾名思义，幂规则是为存在指数的函数定义的，例如变量的平方或函数的立方等。幂规则是在导数中学习的最常见和基本的规则，但同样重要，因为它在大多数情况下使用功能也很复杂。

为了使用幂规则，取指数并将其乘以变量的系数，然后将指数减 1。

给定的函数是，ax ⁿ

The derivative of this function using power rule will be,

$\frac{d(ax^n)}{dx}=(a.n)x^{n-1}$

让我们来看看不同类型的函数，看看幂规则如何作用于它们中的每一个，记住规则在所有函数中都是一样的，

多项式微分

上面的一般公式是为多项式定义的，任何多项式（单项式、二项式等）都可以用幂规则进行微分。

示例：找到下面给出的函数的导数，

1. f(x) = 5x ⁶
2. f(y) = 60y ¹⁰⁰
3. f(z) = xy ⁹ z ³

解决方案：

(i) f(x)= 5x⁶

Differentiating f(x) w.r.t. x,

$\frac{d(5x^6)}{dx}=5.6x^{6-1}\\=30x^5$

(ii) f(y)= 60y¹⁰⁰

Differentiating f(y) w.r.t. y,

$\frac{d(f(y))}{dx}=\frac{d(60y^{100})}{dx}\\=60.100y^{100-1}\\=6000y^{99}$

(iii) f(z)= xy⁹z³

Differentiating f(z) w.r.t. z, here one important thing to keep in mind is that the function has z as a variable, therefore, x and y are treated as a constant.

$\frac{d(xy^9z^3)}{dx}=3.xy^9z^{3-1}\\=3xy^9z^2$

Note: Power rule can be applied for any function with some power, typically looks like xⁿ where n is the power or exponent. A function in the form of axⁿ are known as Power functions.

幂规则是否可以应用于不可见幂的功能？

YES. Every variable has some power, even in the absence of variables, a variable can be added with a power 0 and then the power rule is applied.

让我们更详细地了解将幂规则应用于此类函数的概念，

区分负数

假设一个函数具有负幂或函数以分数的形式给出（基本上，负幂存在于函数上，在这种情况下，

• 将分数转换为相应的幂形式。
• 使用幂律对函数进行微分。
• 将其转换回分数形式。

示例：求函数的导数 f(x) = 1/x ⁴ 。

解决方案：

f(x) = 1/x⁴

$\frac{d(f(x))}{dx}=\frac{d(\frac{1}{x^4})}{dx}\\=\frac{d(x^{-4})}{dx}\\=(-4)x^{(-4-1)}\\=(-4)x^{-5}\\=\frac{-4}{x^5}$

区分激进和分数权力

为了区分自由基或分数幂，请按照以下步骤操作，

• 以幂形式转换自由基。
• 应用导数。
• 以激进的形式转换回来。

示例：求函数的导数，f(x) = 3√x

解决方案：

f(x) = 3√x

Differentiating f(x) w.r.t. x,

$\frac{d(3\sqrt{x})}{dx}\\=\frac{3(x^{1/2})}{dx}\\=3.(1/2)x^{1/2-2}\\=1.5x^{-1/2} \\=\frac{1.5}{\sqrt{x}}$

区分一个常数

常数的导数是 0。即使是常数也可以借助幂规则进行微分，因为添加一个 0 幂的变量不会影响函数/constant。然后，在同一个变量的帮助下，使用幂律对函数进行微分。

示例：求函数的导数 f(x) = 8。

解决方案：

f(x) = 8

$\frac{d(8)}{dx}\\=\frac{d(8.x^0)}{dx}\\= 0*8x^{0-1}\\=0$

示例问题

问题1：求函数对x的导数，f(x) = 100x ¹⁰⁰

解决方案：

f(x) = 100 x¹⁰⁰

Differentiating w.r.t. x,

$\frac{d(100x^{100})}{dx}\\=100*100x^{100-1}\\=10000x^{99}$

问题 2：求下面给出的函数的导数，

f(x)= 3x ² + 5x+ 9

解决方案：

f(x)= 3x²+ 5x+ 9

Differentiating w.r.t. x,

$\frac{df(x)}{dx}=\frac{d(3x^2+5x+9)}{dx}\\=\frac{d(3x^2)}{dx}+\frac{d(5x)}{dx}+\frac{d(9)}{dx} \\=6x^{2-1}+5x^{1-1}+0\\=6x+5$

问题3：求函数的导数，

f(x)= 30x ⁷ + 9√x+ 66

解决方案：

f(x)= 30x⁷+9√x+66

Differentiating w.r.t. x,

$\frac{d(30x^7+9\sqrt{x}+66)}{dx}\\=\frac{d(30x^7)}{dx}+\frac{d(9\sqrt{x})}{dx}+\frac{d(66)}{dx} \\=210x^6+\frac{4.5}{\sqrt{x}}+0$

问题 4：求给定函数的导数，

• f(x)=9
• f(x)=x
• f(x)=z
• f(x)=1/x
• f(x)=√x

解决方案：

• f(x)=9

$\frac{d(9)}{dx}\\=0$

• f(x)=x

$\frac{d(x)}{dx}\\=1$

• f(x)=z

$\frac{d(z)}{dx}\\=0$

• f(x)=1/x

$\frac{d(1/x)}{dx}\\=\frac{d(x^{-1})}{dx}\\=-1x^{-2}\\=\frac{-1}{x^2}$

问题 5：求下面给出的函数的导数，

f(x)= 6√x+ 7/x ⁵ + yx

解决方案：

f(x)= 6√x+ 7/x⁵+ yx

Differentiating w.r.t. x,

$\frac{d(6\sqrt{x}+\frac{7}{x^5}+yx)}{dx}\\=\frac{d(6\sqrt{x})}{dx}+\frac{d(7x^{-5})}{dx}+\frac{d(yx)}{dx} \\=\frac{3}{\sqrt{x}}-\frac{35}{x^6}+y$