证明 1/sec A – tan A – 1/cosA = 1/cos A – 1/sec A + tan A

三角学是一门数学学科，研究直角三角形的边长和角之间的关系。三角函数，也称为测角函数、角函数或圆函数，是建立角度与直角三角形两条边之比之间关系的函数。六个主要的三角函数是正弦、余弦、正切、余切、正割或余割。

Angles defined by the ratios of trigonometric functions are known as trigonometry angles. Trigonometric angles represent trigonometric functions. The value of the angle can be anywhere between 0-360°.

直角三角形

如上图中的直角三角形所示：

• 斜边：与直角相对的边是斜边，它是直角三角形中最长的边，与90°角相对。
• 底：角 C 所在的一侧称为底。
• 垂直：考虑角度 C 的对边。

三角函数

三角函数有 6 个基本的三角函数，它们是正弦、余弦、正切、余割、正割和余切。现在让我们看看三角函数。六个三角函数如下，

• 正弦：它被定义为垂直和斜边的比率，它表示为 sin θ
• 余弦：定义为底边与斜边的比值，表示为 cos θ
• 正切：它被定义为一个角度的正弦和余弦之比。因此，切线的定义是垂直与底的比值，并表示为 tan θ
• cosecant：它是 sin θ 的倒数，表示为 cosec θ。
• 割线：它是 cos θ 的倒数，表示为 sec θ。
• cotangent：它是 tan θ 的倒数，表示为 cot θ。

根据上图，三角比是

Sin θ = Perpendicular / Hypotenuse = AB/AC

Cosine θ = Base / Hypotenuse = BC / AC

Tangent θ = Perpendicular / Base = AB / BC

Cosecant θ = Hypotenuse / Perpendicular = AC/AB

Secant θ = Hypotenuse / Base = AC/BC

Cotangent θ = Base / Perpendicular = BC/AB

互惠身份

Sin θ = 1/ Cosec θ                    OR        Cosec θ = 1/ Sin θ

Cos θ = 1/ Sec θ                       OR        Sec θ = 1 / Cos θ

Cot θ = 1 / Tan θ                     OR         Tan θ = 1 / Cot θ

Cot θ = Cos θ / Sin θ               OR         Tan θ = Sin θ / Cos θ

Tan θ.Cot θ = 1

其他一些身份是

sin²x + cos²x = 1

1 + tan²x = sec²x

1 + cot²x = cosec²x

补角和补角的三角恒等式

• 互补角：和等于90°的一对角
• 补角：和等于 180° 的一对角

互补角的恒等式是

sin (90° – θ) = cos θ

cos (90° – θ) = sin θ

tan (90° – θ) = cot θ

cot (90° – θ) = tan θ

sec (90° – θ) = cosec θ

cosec (90° – θ) = sec θ

补角的恒等式

sin (180° – θ) = sin θ

cos (180° – θ) = – cos θ

tan (180° – θ) = – tan θ

cot  (180° – θ) = – cot θ

sec (180° – θ) = – sec θ

cosec (180° – θ) = – cosec θ

三角比值

	0°	30°	45°	60°	90°
sin θ	0	1/2	1/√2	√3/2	1
cos θ	1	√3/2	1/√2	1	0
tan θ	0	1/√3	1	√3	Not Defined
sec θ	Not Defined	2	√2	2/√3	1
cosec θ	1	2/√3	√2	2	Not Defined
cot θ	Not Defined	√3	1	1/√3	0

三角学象限

证明 1/sec A – tan A – 1/cosA = 1/cos A – 1/sec A + tan A

解决方案：

We have 1/sec A – tan A – 1/cosA = 1/ cos A -1/sec A + tan A

First take LHS 

1/ (sec A – tan A) – 1/cosA 

multiply and divide 1/ (sec A – tan A) by (sec A + tan A)

so now we can writre as 

= {1/ (sec A – tan A) × (sec A + tan A)/(sec A + tan A)} – 1/cosA 

= {(sec A + tan A)/ (sec² A – tan² A)} – 1/cosA 

= {(sec A + tan A)/ 1} – sec A                        {1 + tan²x = sec²x or sec²x – tan²x = 1}

= sec A + tan A – sec A                                {Sec θ = 1 / Cos θ }

= tan A

Now RHS

1/ cos A -1/sec A + tan A

multiply and divide {1/ (sec A + tan A)} by (sec A – tan A)

Now we can write as 

= 1/ cos A – [{1/ (sec A + tan A)} × (sec A – tan A )/(sec A – tan A)]  

= 1/ cos A – [(sec A – tan A) / (sec² A – tan² A)]                 {1 + tan²x = sec²x   or  sec²x – tan²x = 1}

= sec A – [(sec A – tan A) / 1]                                            {Sec θ = 1 / Cos θ}

= sec A    –  sec A + tan A

= tan A

Therfroe LHS = RHS 

So, 1/sec A – tan A – 1/cos A = 1/ cos A – 1/sec A + tan A

Hence proved

类似问题

问题 1：证明 cot ² θ – 1/sin ² θ = -1

解决方案：

We have  cot²θ – 1/sin²θ

= cot²θ –  cosec²θ                                     { Cosec²θ = 1/ Sin² θ }

= – (cosec²θ – cot²θ)                                                  

= -1 

= RHS 

Hence Proved

问题 2：证明 (1 + cot ² θ) (1 – cos θ)(1 + cos θ) = 1

解决方案：

We have LHS 

= (1 + cot²θ) (1 – cos θ)(1 + cos θ) 

= (1 + cot²θ) (1 – cos² θ)

= cosec²θ sin²θ                                   {1 + cot²θ = cosec²θ  and 1 – cos² θ  = sin²θ}

= (1/sin²θ) × sin²θ                              {Cosec²θ = 1/ Sin²θ}

= 1

= RHS

Hence Proved