📌  相关文章
📜  证明 (sec A + tan A)(1 – sin A) = cos A

📅  最后修改于: 2022-05-13 01:54:16.625000             🧑  作者: Mango

证明 (sec A + tan A)(1 – sin A) = cos A

三角学建立在对算术、几何和代数的良好了解之上。纵观历史，三角学已应用于导航等领域，用于测量建筑物或山脉的高度。

  • 假设一所学校的一些学生正在参观位于河岸一侧的灯塔。从河岸另一边的点，正好相反，如果学生看着灯塔的顶部，就会形成一个直角三角形。学生可以在不实际测量的情况下找出灯塔的高度吗？
  • 假设您是一名专业摄影师，并且喜欢测量图像中的特定特征。假设有一个模型火箭将达到一定的高度，并且您想将相机设置在距发射台一定距离的位置。谁能找到你设置相机的角度以在最大高度拍摄模型火箭的照片？
  • 一个晴朗的日子，一个女孩在公园里，一个热气球在离地面一定高度的空中飞行。女孩突然在A点发现了气球，很兴奋。一段时间后，气球沿同一水平方向移动了一段距离，到达了B点。她很想知道B点的热气球离地面的高度。

在上述所有情况下，距离和高度都可以通过使用一些称为三角学的数学技术来计算。

三角恒等式

在数学中，身份 是一个方程，对于变量的每个值都是可验证的。类似地，三角恒等式是涉及三角函数的方程，对于所选变量的每个值都成立。

六个三角比

  • 正弦
  • 余弦
  • 切线
  • 余割
  • 割线，和
  • 余切。

所有这些三角比都是通过使用直角三角形的边得出的，例如底边、垂边和斜边。

  • sin θ= 垂直 / 斜边
  • cos θ= 底边/斜边
  • tan θ= 垂直 / 底
  • cosec θ= 斜边/垂直
  • sec θ= 斜边 / 底边
  • cot θ= 底/垂直

上述关系的助记符

让我们详细了解每种类型的三角恒等式，从上述关系中观察：

  • sin θ = 1/cosecθ 或 cosec θ = 1/sinθ
  • cos θ = 1/secθ 或，sec θ = 1/cosθ
  • tan θ = 1/cotθ 或 cot θ = 1/tanθ

上述这些恒等式称为倒三角恒等式和

  • tan θ = sin θ /cos θ
  • 婴儿床 θ = cos θ /sin θ

这些类型的恒等式称为比率三角恒等式。

毕达哥拉斯三角恒等式

从前面课程中学到的毕达哥拉斯定理，在一个直角三角形中，

垂直2 + 底边2 = 斜边2

现在将两边除以斜边2 ，

垂直2 / 斜边2 + 底边2 / 斜边2 = 斜边2 / 斜边2

众所周知，

sin θ = 垂直/斜边；

cos θ = 底边/斜边

所以，

  • 罪2 θ + cos 2 θ = 1

另外两个毕达哥拉斯三角恒等式可以以相同的方式导出：

  • 1 + tan 2 θ = 秒2 θ
  • 1 + 婴儿床2 θ = cosec 2 θ

另一种类型的身份被称为互补和补充三角身份。一起来了解一下吧

互补和补充三角恒等式

由补角的定义可知，当两个角之和等于90°时，这对角称为补角。所以，

  • sin (90°- θ) = cos θ
  • cos (90°- θ) =sin θ
  • cosec (90°- θ) = 秒 θ
  • 秒 (90°- θ) = cosec θ
  • tan (90°- θ) = 婴儿床 θ
  • 婴儿床 (90°- θ) = tan θ

同样，当两个角的和等于 180° 时，这对角称为补角。所以补充标识如下：

  • sin (180°- θ) = sinθ
  • cos (180°- θ) = -cos θ
  • cosec (180°- θ) = cosec θ
  • 秒 (180°- θ) = -sec θ
  • tan (180°- θ) = -tan θ
  • cot (180°- θ) = -cot θ

和差三角恒等式构成三角恒等式的重要部分。

  • sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B
  • sin (AB) = sin A cos B – cos A sin B
  • cos (A+B) = cos A cos B – sin A sin B
  • cos (AB) = cos A cos B + sin A sin B
  • 棕褐色 (A+B) = (棕褐色 A + 棕褐色 B)/(1 – 棕褐色 A 棕褐色 B)
  • tan (AB) = (tan A – tan B)/(1 + tan A tan B)

双角、半角和三角三角恒等式

双角公式 ⇢ 从上面的和差公式：

sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B

通过替换，A = B = θ，

sin (θ + θ) = sinθ cosθ + cosθ sinθ

  • sin 2θ = 2sinθcosθ

其他双角公式是：

  • cos 2θ = cos 2 θ – sin 2 θ

= 2cos 2 θ – 1

= 1 – 2sin 2 θ

  • tan 2θ = (2tanθ)/(1 – tan 2 θ )

半角公式 ⇢从上面我们得到的双角公式，

cos 2θ = 1 – 2 sin 2 θ

或者，2 sin 2 θ = 1- cos 2θ

或者，sin 2 θ = (1 – cos2θ)/(2)

或者，sinθ = ±√[(1 – cos 2θ)/2]

通过在两边用 θ/2 代替 θ，

  • sin (θ/2) = ±√[(1 – cos θ)/2]

其他半角公式是：

  • cos (θ/2) = ±√(1 + cosθ)/2
  • tan (θ/2) = ±√[(1 – cosθ)(1 + cosθ)]

三角公式⇢再次从和和差公式，我们可以推导出三角公式，

  • sin3θ = sin(2θ + θ)

= sin2θcosθ + cos2θsinθ

= (2sinθcosθ)cosθ + (1 – 2sin2θ)sinθ

= 2sinθcos2θ + sinθ – 2sin3θ

= 2sinθ(1 – sin2θ) + sinθ – 2sin3θ

= 2sinθ – 2sin3θ + sinθ – 2sin3θ

= 3sinθ – 4 sin 3 θ

其他三倍角公式是：

  • cos3θ = 4cos 3 θ – 3cosθ
  • sin3θ = 3sinθ – 4 sin 3 θ
  • tan3θ = 3tanθ – tan 3 θ/1- 3tan 2 θ

还有一些其他恒等式不是从直角派生的。其中之一是正弦和余弦规则三角恒等式。对于边为“a”、“b”和“c”的三角形，三角形的对角分别为 A、B 和 C，正弦定则可表示为：

  • a/sin A = b/sin B = c/sin C
  • 罪 A/a = 罪 B/b = 罪 C/c
  • a/b = 罪 A/罪 B
  • a/c = 正弦 A/正弦 C
  • b/c = 罪 B/罪 C

具有边“a”、“b”和“c”且对角分别为 A、B 和 C 的三角形的余弦规则可以给出为，

  • a 2 = b 2 + c 2 – 2bc × cosA
  • b 2 = c 2 + a 2 – 2ca × cosB
  • c 2 = a 2 + b 2 – 2ab × cosC

证明 (sec A + tan A)(1 – sin A) = cos A

解决方案：

类似问题

问题 1：证明 (1 – cos A)(1 + cos A)(1 + cot 2 A) = 1

解决方案：

问题 2：证明 cos A/(1 + sin A) = (1 – sin A)/cos A

解决方案：

问题 3：证明，tan θ sin θ + cos θ = sec θ

解决方案：

问题 4：证明 cos A cosec A tan A = 1

解决方案：