门| GATE MOCK 2017 |问题28

这是GATE MOCK 2017考试中的第28个问题，它涉及到图论中的最短路径算法。

问题描述

给定一个带权有向无环图，其中每个节点代表一项任务，边表示任务之间的依赖关系。每个任务都有一个开始时间和结束时间，它的结束时间等于它的开始时间加上执行时间。每个任务都要按顺序执行，即它依赖的任务必须在之前完成，且它完成后依赖于它的任务才能开始执行。现在，你需要找到这个图中从起始节点到终止节点的最短时间。

解决方案

要解决这个问题，可以使用动态规划的方法。假设我们已经找到了所有的任务的完成时间，那么从起始节点到终止节点的最短时间就是起始节点的开始时间，加上所有任务完成的时间中的最大值。

为了找到每个任务的完成时间，我们可以使用拓扑排序将这个图转化为一个有序的图，然后从起始节点开始，依次计算每个节点的开始时间和结束时间。对于每个节点，它的开始时间是其依赖节点的结束时间的最大值，它的结束时间是其开始时间加上执行时间。

以下是具体的实现方法：

def topological_sort(graph, start_node):
    # 将图转化为一个有序的序列
    visited = set()
    stack = []
 
    def dfs(node):
        visited.add(node)
        for neighbor in graph.get(node, []):
            if neighbor not in visited:
                dfs(neighbor)
        stack.append(node)
 
    dfs(start_node)
    return list(reversed(stack))
 
def shortest_path(graph, start_node, end_node):
    # 找到从起始节点到终止节点的最短时间
    node_order = topological_sort(graph, start_node)
    start_times = {node: 0 for node in node_order}
    for node in node_order:
        for neighbor, weight in graph.get(node, {}).items():
            start_times[neighbor] = max(start_times[neighbor], start_times[node] + weight)
    return start_times[end_node]

总结

这个问题是一个经典的最短路径问题，可以使用动态规划和拓扑排序的方法解决。理解这个问题可以加深对最短路径算法的理解和应用，特别是在任务调度和分配方面。