GATE CS 2018 |简体中文问题4：最长公共子序列

前言

这是 GATE CS 2018 简体中文试卷中的问题 4，要求程序员实现最长公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）的算法。本文将介绍最长公共子序列的概念、常见的解法和如何在 Python 中实现。

最长公共子序列

最长公共子序列问题是指给定两个序列，求它们之间最长的公共子序列的长度。严格来说，应该是“最长不下降公共子序列”，也就是所求的子序列中的元素在原序列中的相对顺序应当与两个原序列中的相对顺序一致。

举例来说，对于序列 “ACCGGTCGAGTGCGCGGAAGCCGGCCGAA” 和 “GTCGTTCGGAATGCCGTTGCTCTGTAAA”，它们的最长公共子序列为 “GTCGTCGGAAGCCGGCCGAA”（长度为 19）。

解法

动态规划

最长公共子序列问题可以使用动态规划算法求解。我们可以建立一个二维的状态数组 $dp$，其中 $dp[i][j]$ 表示 以字符串 $a$ 的第 $i$ 个字符和字符串 $b$ 的第 $j$ 个字符结尾的最长公共子序列的 长度。

状态转移方程如下：

• $dp[i][j] = 0$，当 $a_i \neq b_j$；
• $dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1$，当 $a_i = b_j$；
• $dp[i][j] = \max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])$，当 $a_i \neq b_j$。

最终结果就是 $dp[m][n]$，其中 $m$ 和 $n$ 分别是字符串 $a$ 和 $b$ 的长度。

递归

最长公共子序列问题也可以使用递归算法求解。我们可以将问题分解为两个子问题，即对 $a$ 和 $b$ 的前 $i-1$ 个字符和前 $j-1$ 个字符，求它们的最长公共子序列的长度 $len1$ 和 $len2$，然后做比较，得到最长公共子序列的长度。

Python 实现

以下是使用动态规划算法实现最长公共子序列的 Python 代码：

def lcs(a, b):
    m, n = len(a), len(b)
    dp = [[0] * (n+1) for _ in range(m+1)]
    for i in range(1, m+1):
        for j in range(1, n+1):
            if a[i-1] == b[j-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
    return dp[m][n]

以下是使用递归算法实现最长公共子序列的 Python 代码：

def lcs(a, b):
    if not a or not b:
        return 0
    if a[-1] == b[-1]:
        return lcs(a[:-1], b[:-1]) + 1
    return max(lcs(a[:-1], b), lcs(a, b[:-1]))

上述代码中使用了 Python 的 slice 操作符，它可以在不改变原有列表的基础上，获取列表的一个子序列。例如，a[:-1] 表示获取 a 列表的除最后一个元素外的所有元素。