GATE CS 2018 简体中文问题2

题目描述

给定一个大小为 $n$ 的数组 $A$，请你计算一组字典序最小的非空子串 $S$，使得 $S$ 中每个元素的出现次数都不小于 $k$。

输入格式

输入包含多组测试数据。对于每个测试数据，第一行包含两个整数 $n$ 和 $k$，表示数组 $A$ 的大小和出现次数下限。接下来一行包含 $n$ 个整数，表示数组 $A$ 的元素。

输出格式

对于每组测试数据，输出一个整数 $ans$，表示字典序最小的非空子串 $S$ 的长度。

如果不存在符合条件的子串 $S$，则输出 $-1$。

样例输入1

8 2
1 2 3 1 2 2 3 1

样例输出1

4

样例解释1

这里存在字典序最小的非空子串为 $[2, 3, 1, 2]$，其长度为 $4$，每个元素都出现了至少 $2$ 次。

样例输入2

6 3
1 2 3 1 2 3

样例输出2

-1

样例解释2

这里不存在符合条件的子串。

提示

• $1 \leqslant n \leqslant 10^6$
• $1 \leqslant A_i \leqslant 10^6$
• $1 \leqslant k \leqslant n$

思路

首先考虑暴力的双指针枚举子串，复杂度为 $O(n^2)$，时间复杂度无法承受。

考虑如何优化时间复杂度，首先发现可以通过分治来减小问题的规模，如果一个区间内存在符合条件的子串，则该区间可以分为三部分：

• 左侧存在符合条件的子串；
• 右侧存在符合条件的子串；
• 两侧都不存在符合条件的子串。

对于第一种和第二种情况，可以递归求解；而对于第三种情况，需要对子串的每个元素计数来判断它是否符合条件，这一步可以用哈希表实现，时间复杂度为 $O(n)$，总时间复杂度为 $O(n \log n)$。

另外还需要注意如何判断一个区间内是否存在符合条件的子串，可以通过二分来判断是否存在长度 $\geqslant k$ 的子串的出现次数全部 $\geqslant k$，时间复杂度为 $O(n \log n)$。

代码

from collections import defaultdict
from typing import List, Tuple


def find_smallest_substring(n: int, k: int, a: List[int]) -> int:
    def count_chars(start: int, end: int) -> bool:
        counter = defaultdict(int)
        for i in range(start, end + 1):
            counter[a[i]] += 1
        for count in counter.values():
            if count < k:
                return False
        return True

    def search_substring(start: int, end: int) -> int:
        if end - start + 1 < k:
            return -1
        if count_chars(start, end):
            return end - start + 1
        mid = (start + end) // 2
        left_ans = search_substring(start, mid)
        right_ans = search_substring(mid + 1, end)
        if left_ans != -1 and right_ans != -1:
            return min(left_ans, right_ans)
        if left_ans != -1:
            return left_ans
        if right_ans != -1:
            return right_ans
        return -1

    return search_substring(0, n - 1)