GATE CS 2018 简体中文题目6

本题是GATE计算机科学考试2018年的一个问题。 题目涉及图论，需要考生具备基本的图论知识，并能够动手实现一些基础的图论算法。

题目描述

题目描述如下：

给定一个有向图$G=(V,E)$，图中可能含有环。求出从每个点出发，到每个点的最短路。

解题思路

本题是一道比较经典的图论问题，求出最短路的算法有多种，本文介绍两种较为常见的算法：Floyd算法和Dijkstra算法。

Floyd算法

Floyd算法是一种动态规划算法，用于求解最短路径问题。其基本思想是通过所有中间结点的集合逐次扩大来求解最短路径。具体来说，设$D_{i,j}^{(k)}$表示从点$i$到点$j$且仅经过集合${1,2,...,k}$中的点的最短路径长度。在算法执行完毕后，$D_{i,j}^{(n)}$就是点$i$到点$j$的最短路径长度。

Floyd算法的代码如下所示：

for k in range(n):
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if D[i][j] > D[i][k] + D[k][j]:
                D[i][j] = D[i][k] + D[k][j]

其中$n$是节点个数，$D$是一个$n \times n$的矩阵，矩阵中$D_{i,j}$表示从节点$i$到节点$j$的距离。算法的时间复杂度为$O(n^3)$，适用于节点数较小的图。

Dijkstra算法

Dijkstra算法是一种贪心算法，用于求解最短路径问题。其基本思想是在图中逐步扩大已经确定最短路的节点集合，直到覆盖所有节点为止。具体来说，维护两个集合$S$和$V-S$，前者表示已经确定最短路的节点集合，后者表示还未确定最短路的节点集合。每次找到$V-S$中距离$S$中节点距离最短的节点$v$，将$v$加入$S$中，并更新$V-S$中的节点距离。

Dijkstra算法的代码如下所示：

def dijkstra(s,graph):
    n = len(graph)
    dist = [float('inf')]*n
    dist[s] = 0
    visited = [False]*n
    for i in range(n):
        v = -1
        for j in range(n):
            if not visited[j] and (v==-1 or dist[j]<dist[v]):
                v = j
        if dist[v]==float('inf'):
            break
        visited[v] = True
        for j in range(n):
            if not visited[j] and graph[v][j]>0 and dist[v]+graph[v][j]<dist[j]:
                dist[j] = dist[v]+graph[v][j]
    return dist

其中$s$表示起点，$graph$是邻接矩阵，矩阵中$graph_{i,j}$表示节点$i$到节点$j$的距离，若节点$i$没有指向节点$j$的边，则$graph_{i,j}=0$。算法的时间复杂度是$O(n^2)$，适用于节点数较大的图。

总结

本题涉及图论，需要考生具备基本的图论知识，并能够动手实现一些基础的图论算法。在时间复杂度和空间复杂度上，Floyd算法和Dijkstra算法各有优缺点，具体应用需要根据实际情况进行选择。