门 | GATE CS 2018 |简体中文问题15

本问题主要考察对于二叉排序树（BST）的理解，以及在BST上进行搜索和插入的操作。

问题描述

给定一个初始为空的BST，依次插入 $9, 10, 5, 7, 12, 15, 11$。则插入元素 $6$ 的顺序可能性最多的选项是：

A. $9, 5, 7, 10, 15, 11, 12, 6$

B. $5, 7, 10, 11, 15, 12, 9, 6$

C. $15, 12, 11, 10, 7, 5, 9, 6$

D. $11, 15, 12, 7, 5, 6, 10, 9$

解题思路

首先，我们来回顾一下BST的定义：对于任意节点 $x$，其左子树中的所有元素的值小于 $x$ 的值，右子树中的所有元素的值大于 $x$ 的值。

根据题目中给出的插入顺序建立BST，可以得到一个如下图所示的树：

         9
       /   \
     5      10
      \        \
       7      12
                \
                 15
                /
              11

现在我们考虑如何插入元素 $6$，使得插入的路径最多。显然，为了使得路径最长，我们应该将 $6$ 插入到 $5$ 和 $7$ 中间，即：

         9
       /   \
      5     10
     / \      \
    7   6    12
              \
               15
              /
            11

这条路径的长度为 $3$，其他选项都无法得到更长的路径。因此，选项为 A，即 $9, 5, 7, 10, 15, 11, 12, 6$。

代码实现

以下是Python代码实现BST的插入操作，用于构建上述的BST：

class Node:
    def __init__(self, key):
        self.left = None
        self.right = None
        self.val = key

def insert(root, key):
    if root is None:
        return Node(key)
    else:
        if root.val < key:
            root.right = insert(root.right, key)
        else:
            root.left = insert(root.left, key)
    return root

root = None
keys = [9, 10, 5, 7, 12, 15, 11]
for key in keys:
    root = insert(root, key)

以下是Python代码实现BST的搜索操作，用于检查插入元素 $6$ 的路径长度：

def find_path_length(root, key):
    if root is None:
        return 0
    if root.val == key:
        return 1
    if root.val < key:
        return find_path_length(root.right, key) + 1
    return find_path_length(root.left, key) + 1

print(find_path_length(root, 6))  # 输出 3

以上代码片段均为Python代码，如果需要其他语言的实现，可以按照同样的思路进行编写。