门 GATE CS 2018 简体中文问题13

本题是一道计算机科学中的算法问题，需要在时间和空间复杂度方面达到较优解。题目内容如下：

有一个长为 $n$ 的整数数组 $A$，请你编写一个函数 findMaxSumSubarray(A)，该函数返回数组 $A$ 中的最大子数组的和。

例如，对于数组 $A = \lbrace -2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4\rbrace$，最大子数组是 $\lbrace 4, -1, 2, 1\rbrace$，其和为 $6$。

请你分析你的算法的时间和空间复杂度，并在代码中注释解释你的算法思想。

解题思路

解决本题的经典算法是 Kadane's algorithm，该算法的时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(1)$。

Kadane's algorithm 的核心是维护两个变量：$maxSoFar$ 和 $maxEndingHere$。其中，$maxSoFar$ 存储至今为止最大的子数组和，而 $maxEndingHere$ 则存储到当前元素为止的最大子数组和。

具体操作如下：

1. 初始化 $maxSoFar$ 和 $maxEndingHere$ 为 $0$（即初始状态下数组的空子串和为 $0$）。
2. 从左到右扫描数组：
   1. 更新 $maxEndingHere$：$maxEndingHere$ 为上一个元素的最大子数组和加上当前元素的值和当前元素值中较大的一个。
   2. 如果 $maxEndingHere$ 大于 $maxSoFar$，则更新 $maxSoFar$ 的值为 $maxEndingHere$。
3. 返回 $maxSoFar$。

代码实现

def findMaxSumSubarray(A):
    maxSoFar = maxEndingHere = 0  # 初始化为 0
    for a in A:
        maxEndingHere = max(maxEndingHere + a, a)
        maxSoFar = max(maxSoFar, maxEndingHere)
    return maxSoFar

其中，第 1 行到 4 行为函数定义和变量初始化，第 5 行到 7 行为 Kadane's algorithm 的实现。根据上面的解题思路，我们可以发现时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(1)$。

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