顺序遍历的笛卡尔树|段树

顺序遍历的笛卡尔树和段树是两个常见的数据结构，它们可以相互转化。本文将介绍这两个数据结构以及它们之间的转化过程。

顺序遍历的笛卡尔树

顺序遍历的笛卡尔树是由一组序列构成的完全二叉树。该树的每个节点都有一个值和一个下标，同时满足以下两个性质：

• 对于任意节点 $i$，其左子节点 $2i$ 的下标大于 $i$，右子节点 $2i+1$ 的下标小于 $i$。
• 对于任意节点 $i$ 和其祖先节点 $j$，若 $j$ 的下标大于 $i$，则 $j$ 必为 $i$ 的左子节点。

下面是一棵顺序遍历的笛卡尔树的示意图：

在这张图中，每个节点都有一个值和一个下标，同时用颜色标出了其在原来序列中所在的位置。可以看出，任意节点的左子节点的下标大于该节点的下标，右子节点的下标小于该节点的下标。另外，对于任意节点 $i$ 和其祖先节点 $j$，若 $j$ 的下标大于 $i$，则 $j$ 必为 $i$ 的左子节点。

序列的每个元素都对应于树的某个节点，而树的结构是由序列确定的。这种树也称为笛卡尔树，它可以用来解决很多与序列相关的问题，如区间最小值/最大值、区间和、区间乘积等。

段树

段树（Segment Tree）是一种用来查询区间信息的数据结构，通常用来解决区间和、区间最大值、区间最小值、区间乘积等问题。其基本思想是把区间划分成若干个小区间，然后用这些小区间的信息来维护整个区间的信息。具体来说，其构造过程是递归进行的。

构造过程

给定一个区间 $[l,r]$，其对应的节点为 $p$，其左右儿子分别为 $lson$ 和 $rson$，其中 $mid$ 表示区间的中点。

• 当 $l=r$ 时，将该区间的信息赋给 $p$。
• 当 $l<r$ 时，对左右儿子分别递归构造。
• 构造完 $lson$ 和 $rson$ 后，将 $p$ 的信息更新为 $lson$ 和 $rson$ 的信息的合并。

查询过程

对于一个查询区间 $[x,y]$，其对应的节点为 $p$，其区间为 $[l,r]$，左右儿子分别为 $lson$ 和 $rson$，其中 $mid$ 表示区间中点。

• 若 $[x,y]$ 包含了 $[l,r]$，则直接返回节点 $p$ 的信息。
• 否则，将查询区间 $[x,y]$ 分别递归查询其左右子树，然后将两者的查询结果合并。

笛卡尔树与段树的互相转化

由于顺序遍历的笛卡尔树和段树都可以用于解决序列相关的问题，因此它们可以相互转化。具体来说，我们可以将一棵顺序遍历的笛卡尔树转化成一棵段树，或者将一棵段树转化成一棵顺序遍历的笛卡尔树。

顺序遍历的笛卡尔树转段树

我们先将一棵顺序遍历的笛卡尔树转化成一棵满二叉树，然后再将其转化成一棵段树。

由于顺序遍历的笛卡尔树是一棵完全二叉树，因此我们可以对其进行一次前序遍历，将它转化成一棵满二叉树。具体来说，将序列分成两部分，一个包括了根节点的值，另一个包括了所有子节点的值。然后分别递归对这两个部分构造左右子树，最终将它们合并成一棵满二叉树。

最后，我们使用链式前向星来存储该满二叉树。具体来说，以该满二叉树的根节点为起点，将每个节点的左儿子和右儿子作为一条边插入到链式前向星中。这样，我们就可以使用链式前向星维护该满二叉树的信息了。

转化过程的时间复杂度为 $O(n)$。

段树转顺序遍历的笛卡尔树

对于一棵段树，我们可以对其进行一次中序遍历，得到一个新的序列。另外，对于每个节点 $i$，其左儿子的编号为 $2i$，右儿子的编号为 $2i+1$。因此，我们可以将节点的编号作为其在该序列中的下标，进而得到一棵顺序遍历的笛卡尔树。

由于一棵段树包含 $n$ 个节点，因此转化过程的时间复杂度为 $O(n)$。

总结

本文介绍了顺序遍历的笛卡尔树和段树，并讨论了它们之间的相互转化。这两种数据结构都是序列相关问题的重要解决方法，掌握它们的用法对于算法竞赛和日常开发都有极大的帮助。