资质 |代数 |问题 3

简介

该问题是一个典型的代数问题，要求求解一个方程的解。

具体问题如下：

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}$$

其中，$x, y, z$ 均为正整数且 $\gcd(x, y, z) = 1$，求满足条件的三元组 $(x, y, z)$ 的个数。

思路

我们首先可以将方程变形为

$$xy - xz - yz = 0$$

然后，我们需要将其转化为一个组合数学问题，即求 $xy$ 可以被表示为 $xz + yz$ 的方案数。

我们可以将式子改写为

$$x(y-z) = yz$$

然后，我们可以将 $y = d_1z, x = d_2z$，这样的话，原式子即变为

$$d_2 = \frac{d_1}{d_1 - 1}$$

我们可以发现，$d_1$ 的可行取值只有那些 $z$ 的因子，所以我们可以一次枚举 $z$ 的所有因子，计算 $d_1, d_2$ 的值是否在取值范围内即可。

代码实现

思路如上所述，首先可以将方程变形为

$$xy - xz - yz = 0$$

然后，我们需要将其转化为一个组合数学问题，即求 $xy$ 可以被表示为 $xz + yz$ 的方案数。我们可以将式子改写为

$$x(y-z) = yz$$

然后，我们可以将 $y = d_1z, x = d_2z$。这样的话，原式子即变为

$$d_2 = \frac{d_1}{d_1 - 1}$$

我们可以发现，$d_1$ 的可行取值只有那些 $z$ 的因子，所以我们可以一次枚举 $z$ 的所有因子，计算 $d_1, d_2$ 的值是否在取值范围内即可。

代码如下：

```python
def solve(n):
    divisors = [i for i in range(1, int(n ** 0.5) + 1) if n % i == 0]
    cnt = 0
    for d in divisors:
        if d == 1:
            continue
        if (d + 1) * n % (d * (d - 1)) == 0:
            cnt += 1
    return cnt

n = int(input())
print(solve(n))