资质 | 代数 | 问题 8

介绍

这是一道基于代数的问题，在数学中属于初等代数的范畴。这道问题涉及到一些基本的数学概念和技巧，对于想要提高代数能力的人来说是非常不错的练习。

问题描述

有一个二次函数 $y=ax^2+bx+c$，如果 $a>0$，那么该函数的图像开口朝上，否则开口朝下。假设该函数的图像经过点 $(1,0)$，$(2,2)$，$(3,0)$，试求出该函数的标准式及其顶点坐标。

解题思路

为了解决这道问题，我们需要使用一些代数知识和技巧。首先，我们可以根据已知条件列出方程组：

$ \begin{cases} a+b+c=0 \ 4a+2b+c=2 \ 9a+3b+c=0 \end{cases} $

接着，我们可以使用消元法计算出 $a,b,c$：

$ \begin{cases} a = - \frac{1}{2} \ b = 2 \ c = - \frac{3}{2} \end{cases} $

因此，该函数的标准式为 $y=-\frac{1}{2} x^2+2x-\frac{3}{2}$。

该函数的顶点坐标可以通过求导得到。将标准式对 $x$ 求一阶导数，得到：

$y'=-x+2$

令 $y'=0$，得到 $x=2$，即为该函数的顶点横坐标。将 $x=2$ 带入标准式，得到 $y=1$，即为该函数的顶点纵坐标。

因此，该函数的顶点坐标为 $(2,1)$。

总结

这道问题是一种基于代数的练习，考察了求解方程和求导等基本技能。熟练掌握这些技巧可以让我们更好地理解和应用代数知识，提高我们的数学能力。