资质、代数问题9

本题是一道关于代数及数学推理能力的问题。

题目描述

已知一个平面直角坐标系上有两个点 $P_1(x_1,y_1)$ 和 $P_2(x_2,y_2)$，以及一条斜率为 $k$ 的直线 $l$。

现给定 $P_1,P_2$ 和 $k$ 的值，请你判断以下两个结论是否正确：

1. 直线 $l$ 与 $x$ 轴的夹角为 $k$ 的反正切函数值。
2. 点 $P_2$ 在直线 $l$ 的上方当且仅当 $y_2 > kx_2 + y_1 - kx_1$。

请用户编写一个函数 check_slope_point，它接受五个参数：$x_1,y_1,x_2,y_2,k$，分别表示上述两个点的坐标和直线的斜率，以及需要判断的点的坐标。该函数需要返回一个长度为 $2$ 的布尔类型列表，表示上述两个结论的正确性。若结论正确，对应的列表元素为 True，否则为 False。

示例

输入：

check_slope_point(1, 1, 2, 3, 1)

输出：

[True, True]

解释：

点 $P_1(x_1,y_1) = (1,1)$，点 $P_2(x_2,y_2) = (2,3)$，斜率为 $k = 1$。

1. $k$ 的反正切函数值应该为 $\arctan(1) = \pi/4$，与直线 $l$ 与 $x$ 轴夹角相等，因此第一个结论正确。
2. 代入点 $P_2$ 的坐标及 $k$ 和 $P_1$ 的坐标得到 $y_2 > kx_2 + y_1 - kx_1$，因此第二个结论正确。

解题思路

对于第一条结论，我们可以根据 直线斜率的求法 及 反正切函数 的定义进行验证。

对于第二条结论，我们可以先根据直线上的一个点 $P_1$，以及直线斜率 $k$，求出直线方程的一般式：$y - y_1 = k(x - x_1)$。然后代入需要判断的点 $P_2(x_2,y_2)$ 的坐标，将它代入一般式中进行比较，从而得出结论。

参考代码

import math

def check_slope_point(x1: float, y1: float, x2: float, y2: float, k: float) -> list:
    angle = math.atan(k) * 180 / math.pi  # 求直线与x轴的夹角
    flag1 = abs(angle - 90) < 1e-9  # 判断直角
    flag2 = y2 > k * x2 + y1 - k * x1  # 判断关系式
    return [flag1, flag2]

返回的markdown格式:

资质、代数问题9

本题是一道关于代数及数学推理能力的问题。

题目描述

已知一个平面直角坐标系上有两个点 $P_1(x_1,y_1)$ 和 $P_2(x_2,y_2)$，以及一条斜率为 $k$ 的直线 $l$。

现给定 $P_1,P_2$ 和 $k$ 的值，请你判断以下两个结论是否正确：

1. 直线 $l$ 与 $x$ 轴的夹角为 $k$ 的反正切函数值。
2. 点 $P_2$ 在直线 $l$ 的上方当且仅当 $y_2 > kx_2 + y_1 - kx_1$。

请用户编写一个函数 check_slope_point，它接受五个参数：$x_1,y_1,x_2,y_2,k$，分别表示上述两个点的坐标和直线的斜率，以及需要判断的点的坐标。该函数需要返回一个长度为 $2$ 的布尔类型列表，表示上述两个结论的正确性。若结论正确，对应的列表元素为 True，否则为 False。

示例

输入：

check_slope_point(1, 1, 2, 3, 1)

输出：

[True, True]

解释：

点 $P_1(x_1,y_1) = (1,1)$，点 $P_2(x_2,y_2) = (2,3)$，斜率为 $k = 1$。

1. $k$ 的反正切函数值应该为 $\arctan(1) = \pi/4$，与直线 $l$ 与 $x$ 轴夹角相等，因此第一个结论正确。
2. 代入点 $P_2$ 的坐标及 $k$ 和 $P_1$ 的坐标得到 $y_2 > kx_2 + y_1 - kx_1$，因此第二个结论正确。

解题思路

对于第一条结论，我们可以根据 直线斜率的求法 及 反正切函数 的定义进行验证。

对于第二条结论，我们可以先根据直线上的一个点 $P_1$，以及直线斜率 $k$，求出直线方程的一般式：$y - y_1 = k(x - x_1)$。然后代入需要判断的点 $P_2(x_2,y_2)$ 的坐标，将它代入一般式中进行比较，从而得出结论。

参考代码

import math

def check_slope_point(x1: float, y1: float, x2: float, y2: float, k: float) -> list:
    angle = math.atan(k) * 180 / math.pi  # 求直线与x轴的夹角
    flag1 = abs(angle - 90) < 1e-9  # 判断直角
    flag2 = y2 > k * x2 + y1 - k * x1  # 判断关系式
    return [flag1, flag2]

注意：由于本题中需要使用到数学符号、公式等，因此在返回的 markdown 格式中需要进行特殊处理，可使用 MathJax 等公式渲染工具。