门 | GATE-IT-2004 | 问题9

这道问题来自于印度的研究生入学考试(GATE)中的计算机科学试卷，是一道在图论领域内的题目。

问题描述

在一个长为n的道路上有m个门，编号为1~m。第i个门的位置为$x_i$。你需要在道路上选择两个相异的位置x,y(1 ≤ x < y ≤ n)，然后从x走到y的过程中经过的任何一个门都会被打开。请输出最多可以打开多少个门。

解题思路

这道题可以转换为求解一个最长路径问题。对于一个门i，它可以表示为图上的一个点，对于道路上的每一个位置j，也可以表示为一个点，那么当$i$和$j$之间的距离不超过$x$的时候，我们就可以从i到j再到y，来打开i门和y门。

那么建图方式为：对于每个门i，向距离不超过$x$的其他门连边，权值为$x_i$和$x_j$之间的距离。然后从门i到门j的任意路线，路径上都会经过距离不超过x的其他门，就相当于经过了这些门。

接下来就是求解最长路径问题，可以使用Dijkstra算法或Bellman-Ford算法等进行求解。

代码实现

下面是python代码示例，使用Dijkstra算法实现：

from typing import List
import heapq

def max_open_doors(n: int, m: int, x: int, doors: List[int]) -> int:
    INF = 0x7FFFFFFF
    graph = [[] for _ in range(m)]
    for i in range(m):
        for j in range(i+1, m):
            if abs(doors[j] - doors[i]) <= x:
                graph[i].append((j, doors[j] - doors[i]))
                graph[j].append((i, doors[j] - doors[i]))

    dist = [INF] * m
    dist[0] = 0
    heap = [(0, 0)]
    seen = [False] * m
    while heap:
        (d, u) = heapq.heappop(heap)
        if seen[u]:
            continue
        seen[u] = True
        for v, weight in graph[u]:
            relax = dist[u] + weight
            if relax < dist[v]:
                dist[v] = relax
                heapq.heappush(heap, (dist[v], v))

    return -1 if dist[m-1] == INF else dist[m-1]

代码返回最多可以打开的门数。