门 GATE-IT-2004 问题8

本文主要介绍 门 GATE-IT-2004 考试中的 问题8，该问题涉及到技术领域中的一个重要概念，需要程序员了解和掌握。

问题描述

在一个有向图中，从顶点 u 到顶点 v 的所有路径的长度之和为 d(u, v)。给定一个无向图 G，图中每个边都有一个权值，权值表示该边的长度。设计一个算法，计算所有的 d(u, v)。

算法思路

该问题可以通过 Floyd 算法求解。Floyd 算法是一种动态规划算法，用于求解所有点对之间的最短路径。它的基本思想是：从任意一点出发，经过中间点到达另一个点的距离，小于直接从起点到达该点的距离。

当我们使用 Floyd 算法求解本问题时，需要进行以下步骤：

1. 初始化一个 n * n 的距离矩阵 D，其中 n 表示图中节点的个数。
2. 对于每一个节点 i，用它和其他节点 j 相邻的边的权值来初始化 D[i][j]。如果节点 i 和节点 j 之间没有边相连，则初始化为一个较大的数，表示它们之间不存在路径。
3. 对于任意两个节点 i 和 j，检查节点集合 {1, 2, ..., k} 中的所有节点，看看是否存在一条从节点 i 到节点 j 且经过节点 k 的路径，这条路径的长度可以用 D[i][k] + D[k][j] 来表示。如果它比已知的 D[i][j] 更短，则更新 D[i][j] 的值。
4. 重复步骤 3，直到所有的节点集合 {1, 2, ..., n} 都被考虑过。

在算法执行过程中，我们可以使用一个 n * n 的中间矩阵 P 来记录路径，即在从节点 i 到节点 j 的最短路径上，节点 k 是第一个经过的节点，那么 P[i][j] = k。

代码实现

以下是使用 Python 语言实现 Floyd 算法解决本问题的代码片段：

def floyd(graph):
    n = len(graph)
    dist = [[float('inf') for _ in range(n)] for _ in range(n)]
    path = [[-1 for _ in range(n)] for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if i == j:
                dist[i][j] = 0
            elif graph[i][j] != 0:
                dist[i][j] = graph[i][j]
                path[i][j] = i
    for k in range(n):
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                if dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j]:
                    dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j]
                    path[i][j] = path[k][j]
    return dist

总结

本文介绍了 门 GATE-IT-2004 考试中的 问题8，该问题涉及到动态规划算法的一个常见应用——Floyd 算法，它可以用于求解所有点对之间的最短路径。在本问题中，我们可以将图中每条边的长度看作是边的权值，然后通过 Floyd 算法来求解任意两个节点之间的路径长度。最后，我们给出了使用 Python 语言实现 Floyd 算法的代码片段供参考。