门 GATE-IT-2004 问题5

本文主要介绍 门 GATE-IT-2004 问题5，这是一个经典的计算机科学问题，在 GATE（印度教育部门考试）和其他计算机科学考试中经常会出现。本文将介绍问题的详细描述、算法解决方案、关键代码和时间复杂度分析。

问题描述

问题描述如下：

给定一个长度为 n（n 为偶数）的整数数组 arr，将数组分成两个长度相等的子数组 left 和 right，使得两个子数组的和尽可能接近。具体地，定义两个子数组的和分别为 sum(left) 和 sum(right)。则目标是最小化 abs(sum(left) - sum(right))。

解决方案

这个问题可以使用动态规划算法来解决。我们可以定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示在前 i 个元素中选取 j 个元素的所有可能的和。然后，我们可以找到最接近目标的三个数，这个目标数就是数组 arr 的总和的一半。

接下来，我们可以按以下步骤进行子问题求解：

1. 初始化 dp[n/2+1][0] = 0。
2. 对于所有 i (1 <= i <=n)，dp[1][i] = arr[i]。
3. 对于所有 i (2 <= i <= n/2+1)，j (1 <= j <= n/2)，dp[i][j] = dp[i-1][j] + arr[i+j-1]。 即 dp[i][j] 表示在前 i 个元素中选取 j 个元素的和。
4. 找到最接近目标的三个数，返回最大的数。

算法可以用以下代码实现：

def min_diff(arr):
    n = len(arr)
    target = sum(arr) // 2
    dp = [[0] * (n//2+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        dp[1][i] = arr[i-1]
    for i in range(2, n//2+2):
        for j in range(1, n//2+1):
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + arr[i+j-2]
    closest_sum = 0
    for i in range(1, n//2+1):
        if abs(target-dp[n//2+1][i]) < abs(target-closest_sum):
            closest_sum = dp[n//2+1][i]
    return abs(sum(arr)-2*closest_sum)

时间复杂度

这个算法的时间复杂度为 O(n^2)，其中 n 是数组 arr 的长度。因为我们需要处理一个二维数组，因此空间复杂度也是 O(n^2)。实际上，我们只需要记录前一步的结果，因此可以使用滚动数组将空间复杂度降低到 O(n)。