国际空间研究组织 | ISRO CS 2011 |问题 76

题目描述

给定长度为n的一个数组，返回一个由逆序数对个数组成的数组，其中第i个元素表示原数组中索引大于i的元素中比第i个元素小的元素个数。例如，如果原数组为[2, 4, 1, 3, 5]，则返回的数组为[3, 2, 2, 1, 0]，因为第0个元素为2，即在[4, 1, 3, 5]中有2个元素比2小；第1个元素为2，即在[1, 3, 5]中有2个元素比4小；…

输入

输入的第一行包含一个整数T，表示测试用例的数量。每个测试用例的第一行包含一个整数n。接下来一行包含n个以空格分隔的整数，表示数组的元素。

输出

对于每个测试用例，输出一个由逆序数对个数组成的数组。

示例

输入：

2
5
2 4 1 3 5
3
3 2 1

输出：

3 2 2 1 0
3 2 0

解释

对于第一个测试用例，原数组为[2, 4, 1, 3, 5]，其中有3个逆序数对(2, 1)、(4, 1)、(4, 3)，因此返回的数组为[3, 2, 2, 1, 0]。

对于第二个测试用例，原数组为[3, 2, 1]，其中有3个逆序数对(3, 2)、(3, 1)、(2, 1)，因此返回的数组为[3, 2, 0]。

思路

计算逆序数对个数可以通过归并排序的算法实现。具体而言，对于左子数组a[l, m]和右子数组a[m+1, r]，它们已经分别有序，此时可以遍历左子数组和右子数组中的元素，如果a[i] > a[j]（左子数组中元素的下标为i，右子数组中元素的下标为j），则说明形如(a[i], a[j])的逆序数对个数为m-i+1。统计逆序数对个数之后，不能忘记将左子数组和右子数组进行合并，即归并排序的经典过程。

代码

def merge_sort(arr, result, left, right):
    if left >= right:
        return
    middle = (left + right) // 2
    merge_sort(arr, result, left, middle)
    merge_sort(arr, result, middle + 1, right)
    merge(arr, result, left, middle, right)

def merge(arr, result, left, middle, right):
    i = left
    j = middle + 1
    k = left
    while i <= middle and j <= right:
        if arr[i] <= arr[j]:
            result[k] += j - middle - 1
            k += 1
            i += 1
        else:
            k += 1
            j += 1
    while i <= middle:
        result[k] += j - middle - 1
        k += 1
        i += 1

t = int(input())
for _ in range(t):
    n = int(input())
    arr = list(map(int, input().split()))
    result = [0] * n
    merge_sort(arr, result, 0, n - 1)
    print(*result)

说明

本题是一个经典的计算逆序数对个数的问题，其核心思想就是利用归并排序的原理。在归并排序的过程中，首先将数组分成两个子数组，然后递归地对两个子数组进行排序，最后将两个排序好的子数组合并为一个有序的数组。在合并的过程中，通过计算左子数组和右子数组元素之间的逆序数对个数，可以得到整个数组的逆序数对个数。

需要注意的是，在计算逆序数对个数的过程中，不能简单地将左子数组中的元素和右子数组中的元素进行比较。如果左子数组中的元素比右子数组中的元素小，那么这两个元素之间不一定是逆序数对。只有当左子数组中的元素比右子数组中的元素大的时候，才可以计算逆序数对的个数。因此，在实现的时候，需要设置三个指针i、j、k，分别指向左子数组、右子数组和合并后的数组中的元素，需要注意的是，i和j的初值分别为左子数组和右子数组的起始位置。

另外，由于本题需要输出一个由逆序数对个数组成的数组，因此需要使用*args语法来输出列表中的元素。