门 | GATE CS 2011 | 问题10

这道题是GATE CS 2011年的第10题，涉及到数据结构中的二叉树和数组排序。以下是解题思路和示范代码。

题目描述

给定一个二叉搜索树和一个长度为$n$的整数数组$X$，其中$n$是节点数，数组中的元素是每个节点的值。对于这个二叉搜索树，对它的节点按照升序顺序重新编号（从1开始），并将编号插入到数组中对应节点的下标位置。例如，如果二叉搜索树的根节点的值是$X[i]$，则该节点的序号为$i+1$。

现在考虑把$X$数组按照升序排列，但是只能使用一个长度为$n$的额外数组$Y$，以及一些辅助空间。算法的时间复杂度必须是$O(nlogn)$。

实现函数sort(int[] X, int[] Y, int n)，并在其中使用上述算法将$X$数组按照升序排列并放入$Y$数组中。

思路

题目要求用$O(nlogn)$的时间复杂度完成排序，我们可以想到使用归并排序。归并排序的一般思路是将原数组不断递归地拆分为更小的子数组，再将它们合并成更大的排序好的数组，最后完成整个排序过程。

对于这道题目，我们可以对二叉搜索树进行递归遍历，同时复制一份$X$数组。在遍历的过程中，按照中序遍历的方式将原数组（也就是节点值）拆分为两个子数组。你可以用根节点的下标$i$将$X$数组拆分为$X[0:i-1]$和$X[i+1:n-1]$，然后再按照相同的方式将复制的$X$数组拆分为两个子数组。每次递归结束后，我们的数组都会排序好，我们只需要将这两个排序的数组进行归并即可。

这里需要注意：我们传递给子函数的下标范围必须是左闭右开的。我们要传递左侧下标和右侧下标加一的值，这样能保证在递归回来后操作的下标数量是匹配的。

代码

以下是Java语言的解题示范代码：

public void sort(int[] X, int[] Y, int n) {
    int[] copy = new int[n];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        copy[i] = X[i];
    }
    merge_sort(X, copy, Y, 0, n);
}

private void merge_sort(int[] X, int[] copy, int[] Y, int left, int right) {
    if (left + 1 >= right) {
        return;
    }
    int mid = (left + right) / 2;
    merge_sort(X, copy, Y, left, mid);
    merge_sort(X, copy, Y, mid, right);

    int i = left, j = mid, k = left;
    while (i < mid && j < right) {
        if (X[i] < X[j]) {
            Y[k++] = X[i++];
        } else {
            Y[k++] = X[j++];
        }
    }
    while (i < mid) {
        Y[k++] = X[i++];
    }
    while (j < right) {
        Y[k++] = X[j++];
    }

    for (k = left; k < right; k++) {
        X[k] = copy[k];
    }
}

以上代码实现了sort函数以及递归函数merge_sort，其中用到了归并排序的思路，将二叉搜索树按照中序遍历的方式拆分为左右两个子树，并进行递归。在归并的过程中，我们使用额外的$copy$数组作为排序时的辅助数组，每次递归完后将结果复制回原数组$X$。