门| GATE-CS-2017（套装1）|问题 21

该问题要求在给定的有向图中找到所谓的门控点，门控点是指当该点被移除后，有向图会被拆分成多个连通组件。

解题思路

可以采用深度优先搜索（DFS）算法解决该问题。对于给定的有向图，我们需要找到门控点，就需要做到以下几点：

1. 从任意一点开始深度优先搜索，对于每一个节点记录下步骤 2 中所需的信息；
2. 对于每个节点 $u$，记录其最早的发现时间 $d[u]$ 和（如果有的话）迄今为止发现的最早祖先节点 $low[u]$；
3. 节点 $u$ 是门控点当且仅当满足以下一个条件：
   • $u$ 是根节点，且其有 $2$ 个以上的儿子；
   • $u$ 不是根节点，且存在一个儿子 $v$，对其有 $low[v] \geq d[u]$。

代码如下：

visited = set()     # 已经被访问过的节点集合
d = {}              # 节点最早发现时间的字典
low = {}            # 节点发现的最早祖先节点的字典
parent = {}         # 节点的父节点字典
is_gate = {}        # 节点是否是门控点的字典
time = 0            # 当前时间
root = None         # 根节点

def dfs(u, graph):
    global visited, d, low, parent, is_gate, time, root
    visited.add(u)
    d[u] = time
    low[u] = time
    time += 1
    children_count = 0
    for v in graph[u]:
        if v not in visited:
            parent[v] = u
            if u == root:
                children_count += 1
            dfs(v, graph)
            low[u] = min(low[u], low[v])
            if low[v] >= d[u] and u != root:
                is_gate[u] = True
            elif u == root and children_count > 1:
                is_gate[u] = True
        elif v != parent[u]:
            low[u] = min(low[u], d[v])

def find_gates(graph):
    global visited, d, low, parent, is_gate, time, root
    visited = set()
    d = {}
    low = {}
    parent = {}
    is_gate = {}
    time = 0
    root = next(iter(graph.keys()))
    dfs(root, graph)
    is_gate[root] = (len(graph[root]) > 1)
    return [u for u in is_gate if is_gate[u]]

总结

这篇文章介绍了解决门控点问题的常见方法——深度优先搜索（DFS）。需要注意的是，虽然这种方法是在有向图上实现的，但在无向图上同样适用。