「门|门 CS 1996 」第 57 题

这道题目是1996年清华大学计算机系的入学考试题目，也比较经典。以下是题目描述：

有n个门连成一条直线(编号为1,2,...,n)，一些门外有守卫, 而有些门里面有士兵。当一扇门有守卫时，其它门才能通过，在有多个守卫的情况下，只有一个守卫看守，这个守卫会在自己所在的门的两边各看一扇门（当然，如果门已经有守卫，则不会另外派出守卫)，每扇门上的守卫都有一个级别，从小到大为1,2,...,n;这个级别也就决定了这扇门上是否有守卫和守卫的数量。如门1有1号守卫，门2有3号守卫，门3有1号和5号守卫，门4只有4号守卫，门5有1、4、5、7# 守卫（#代表空格）。当一个士兵从一扇门走到相邻的另一扇门时，所用的时间是该士兵级别的平方。现在有一个士兵要走从门1到门n（难道不是从门n到门1吗？），问你他至少是什么级别的士兵，才能保证他能在最短的时间内到达。n<=100。

思路

• 很明显这是一道图论题目，守卫和士兵可以看作是边权为0和1的图。
• 根据上述分析，可以构建一个有向图，从1到n有一条权值为i* i的边，只有门有守卫，将门抽象成点，则每扇门上的守卫是这个点的入度、守卫级别是入度权值。
• 求最短路径，很明显用Dijkstra即可。

代码

import heapq

n = 100

g = [[] for _ in range(n)]
for i in range(1, n):
    for j in range(i+1, n+1):
        g[i-1].append((j-1, (j-i)**2))


def dijkstra(s: int, g: list):
    pq = []
    heapq.heappush(pq, (0, s))

    d = [float('inf')] * len(g)
    d[s] = 0

    while pq:
        v_w, v = heapq.heappop(pq)
        if d[v] < v_w:
            continue
        for next_v, next_w in g[v]:
            if d[next_v] > d[v] + next_w:
                d[next_v] = d[v] + next_w
                heapq.heappush(pq, (d[next_v], next_v))

    return d


if __name__ == '__main__':
    ans = dijkstra(0, g)
    print(ans[-1])

代码中把100个门看做是0-99这100个节点，构建的是有向图。